Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm Toán 11 - Bài: Phép vị tự (Có lời giải)

§➐. PHÉP VỊ TỰ
Chương 1:
Tóm tắt lý thuyết
Ⓐ
➊.Định nghĩa
Cho điểm O và số k ¹ 0. PBH biến mỗi điểm M thành điểm M¢ : đgl phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Kí hiệu: V(O,k).
O: tâm vị tự, k: tỉ số vị tự.
²Nhận xét:
V(O,k): O O
Khi k =1 thì V(O,1) là phép đồng nhất.
Khi k= –1 thì V(O,–1) = ĐO
V(O,k)(M) = M¢ Û (M¢) = M 
➋.Tính chất: 
²Tính chất 1:
²Tính chất 2: Phép V(O,k):
Biến 3 điểm thẳng hàng ® 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.
Biến đt ® đt song song hoặc trùng với nó, 
Tia ® tia, đoạn thẳng ® đoạn thẳng.
Biến tam giác ® tam giác đồng dạng với nó, 
Biến góc ® góc bằng nó.
Biến đường tròn bán kính R ® đường tròn bán kính /k/R.
➌.Tâm vị tự của hai đường tròn 
²Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Tâm của phép vị tự đó đgl tâm vị tự của hai đường tròn.
² Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn (I; R) và (I; R¢):
Trường hợp I trùng với I¢
 hoặc: 
Trường hợp I ¹ I¢ và R ¹ R¢
Ta có hai tâm vị tự trong và ngoài.
Trường hợp I ¹ I¢ và R = R¢
Tâm vị tự là trung điểm của II¢
Phân dạng bài tập
Ⓑ
 ①. Dạng 1: Tìm ảnh, tạo ảnh của một điểm qua một phép vị tự
³Bài tập minh họa
Câu 1: Tìm ảnh của điểm qua phép vị tự tâm 
Lời giải
Ta có 
Câu 2: Cho , phép vị tâm biến điểm thành có hệ số bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có ; . 
Câu 3: Cho . Tìm tâm phép vị biến điểm thành có hệ số .
Lời giải
Ta có 
Câu 4: Cho ba điểm . Tồn tại hay không tồn tại một phép vị tự tâm A tỉ số k để biến B thành C?
Lời giải
	Giả sử tồn tại một phép vị tự tâm A, tỉ số k biến B thành C.
	Có (đúng). Kết luận tồn tại phép vị tự tâm A tỉ số để biến B thành C.
 ②. Dạng 2: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường thẳng qua một phép vị tự
Câu 1: Cho . Tìm ảnh của qua phép vị tự tâm có hệ số :
Lời giải
Ta có 
 pttq của .
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng . Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm tỉ số vị tự ?
Lời giải
	Gọi (1).
	Gọi là ảnh của M qua phép vị tự tâm I tỉ số :
	. 
	Do đó 
	Do vậy ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự là 
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng . Tìm ảnh của qua phép vị tự tâm tỉ số .
Lời giải
M
O
Cách 1: Do song song hoặc trùng với d. Nên có dạng .
Lấy . Khi đó: 
Thay vào . Vậy 
Cá 2: Gọi 
Thế vào phương trình đường thẳng 
Vậy .
③. Dạng 3: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường tròn qua một PVT
Câu 1: Trong mặt phẳng cho đường tròn Tìm phương trình đường tròn là ảnh của qua phép vị tự tâm tỉ số .
Lời giải
	 có tâm bán kính 
	 có tâm bán kính 
Vì là ảnh của qua phép vị tự tâm tỉ số 
Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ): . Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm tỉ số .
Lời giải
	Đường tròn (C ) có tâm bán kính . Gọi là tâm và R’ là bán kính của (C’), với (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I tỉ số . Ta có tọa độ của K’ thỏa mãn biểu thực tọa độ của phép vị tự :
	Vậy (C’) : 
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một phép biến hình T biến điểm thành xác định bởi biểu thức tọa độ sau đây: 
a) Chứng minh T là một phép vị tự.
b) Tìm ảnh (C’) của đường tròn qua phép biến hình T.
	Lời giải
	Gọi I là điểm biến hình chính nó qua phép biến hình đã cho. Ta có nên 
	Vậy điểm biến thành chính nó là tâm vị tự.
	Ta có 
	. Vậy T là phép vị tự tâm tỉ số .
b) Từ , thay vào ta được:
	Vậy phương trình .
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn . Tìm ảnh của qua phép vị tự tâm tỉ số ?
Lời giải
Đường tròn có tâm , bán kính .
④. Dạng 4: Xác định tâm vị tự của hai đường tròn.
Câu 1: Trong mặt phẳng cho đường tròn và đường tròn . Tìm phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn ?
Lời giải
 có tâm bán kính 
 có tâm bán kính 
TH 1 : 
TH2 : 
Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm và . Tìm tọa độ tâm vị tự của hai đường tròn và .
Lời giải
	Hai đường tròn đã cho không đồng tâm và có bán kính lần lượt , nên có hai phép vị tự tỉ số biến đường tròn thành đường tròn . Gọi là tâm vị tự, ta có 
	.
	Vậy tâm vị tự ngoài là và tâm vị tự trong là .
Câu 3: Xác định tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài của hai đường tròn trong các trường hợp sau:
a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau.	
b) Hai đường tròn tiếp xúc trong nhau.
c) Một đường tròn chứa đường tròn kia.
Lời giải
	Gọi I là tâm vị tự ngoài và I’ là tâm vị tự trong của hai đường tròn (O) và (O’).
a) Nếu (O) và (O’) tiếp xúc ngoài thì tiếp điểm I’ là tâm vị tự trong, giao điểm của OO’ với tiếp tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’) nếu có là tâm vị tự ngoài.
b) Nếu (O) và (O’) tiếp xúc trong thì tiếp điểm I là tâm vị tự ngoài, tâm vị tự trong I’ là giao điểm của OO’ và MM’ trong đó là hai vec tơ bán kính ngược hướng của (O) và (O’).
c) Giả sử nằm trong . Ta làm như sau:
	Lấy điểm M bất kì thuộc (O).
	Dựng đường thẳng qua O’ song song với OM, cắt (O’) tại M’ và M’’ (hai điểm M và M’ cùng phía đối với đường thẳng OO’).
	Dựng và .
	Đặc biệt, khi O trùng O’ thì I và I’ trùng với O.
Bài tập thực hành
Ⓒ
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
①. Dạng 2: KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP VỊ TỰ
Mệnh đề nào sau đây sai về phép vị tự:
A. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.
B. Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
C. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.
D. Biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
Cho hai đường thẳng song song và . Có bao nhiêu phép vị tự đối với tỉ số biến đường thẳng thành ?
A. Không có phép nào.	B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có 2 phép.	D. Có vô số phép.
Cho hai đường thẳng cắt nhau và . Có bao nhiêu phép vị tự biến đường thẳng thành ?
A. Không có phép nào.	B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có 2 phép.	D. Có vô số phép.
Cho hai đường thẳng song song và , và một điểm không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm biến đường thẳng thành ?
A. .	B. .	C. .	D. Vô số.
Cho hai đường tròn bằng nhau và với tâm và tâm phân biệt. Có bao nhiêu phép vị tự biến thành ?
A. .	B. .	C. .	D. Vô số.
Cho hai phép vị tự và với và là hai điểm phân biệt và . Hợp của hai phép vị tự đó là phép nào sau đây?
A. Phép tịnh tiến.	B. Phép đối xứng trục.
C. Phép đối xứng tâm.	D. Phép quay.
Cho vuông tại , . Phép vị tự tâm tỉ số biến thành , biến thành . Mệnh đề nào sau đây sai? 
A. là hình thang.	B. .
C. .	D. Chu vi chu vi .
Cho hình thang . Đáy lớn , đáy nhỏ . Gọi là giao điểm của hai đường chéo và là giao điểm của hai cạnh bên. Phép biến hình thành là phép vị tự nào?
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho đường tròn và một điểm cố định trên đường tròn. là dây cung di động và có độ dài không đổi bằng . Gọi là trung điểm . Khi đó tập hợp trọng tâm của là:
A. , tập hợp là một đường tròn.
B. , tập hợp là một đường thẳng.
C. , tập hợp là một đường tròn.
D. , tập hợp là một đường thẳng.
Cho đường tròn đường kính . Một đường tròn tiếp xúc với đường tròn 
và đoạn lần lượt tại và . Đường thẳng cắt tại . Tính độ dài đoạn .
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hai đường tròn và tiếp xúc trong tại . Đường kính qua cắt tại và cắt tại . Một đường thẳng di động qua cắt tại và cắt tại . Gọi là giao điểm của và . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Tập hợp điểm là đường tròn: .
B. Tập hợp điểm là đường tròn: .
C. Tập hợp điểm là đường tròn: .
D. Tập hợp điểm là đường tròn: .
②. Dạng 2: TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ.
Trong mặt phẳng tọa độ , tìm ảnh của điểm qua phép vị tự tâm tỉ số 
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ cho . Tìm ảnh của qua phép vị tự tâm tỉ số 
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ cho . Gọi lần lượt là ảnh của qua phép vị tự tâm tỉ số Khi đó tọa độ trọng tâm của tam giác là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm Phép vị tự tâm tỉ số biến thành . Khi đó giá trị là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm Phép vị tự tâm tỉ số biến thành . Khi đó giá trị là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng Tìm ảnh của qua phép vị tự tâm tỉ số 
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng Tìm ảnh của qua phép vị tự tâm tỉ số 
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng và . Phép vị tự Tìm 
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng tìm ảnh đường tròn của đường tròn qua phép vị tự tâm tỉ số .
A. .	B. .
C. .	D. .
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn Tìm ảnh đường tròn của đường tròn qua phép vị tự tâm và tỉ số 
A. .	B. .
C. .	D. .
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn ;. Tìm tâm vị tự ngoài của hai đường tròn đó
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn và đường tròn . Tìm tâm vị tự trong biến thành .
A. .	B. .	C. .	D. 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Dạng 1: Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép vị tự.
Đáp án D.
Đáp án D.
Đáp án A
Theo tính chất phépv ị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nhay, không có trường hợp cắt .
Đáp án B.
Đáp án B.
Đáp án A
Lấy điểm bất kỳ: và và 
Khi đó phép hợp thành Gọi là ảnh của qua phép hợp 
Khi đó nên: 
Vậy là phép tịnh tiến theo vectơ .
Đáp án B
.
Đáp án C
Ta có
.
Đáp án A
Ta có: 
Ta có: 
Khi di động trên đường tròn thì chạy trên đường tròn là ảnh của đường tròn qua phép vị tự .
Đáp án B
Ta có: 
Từ và là điểm chính giữa của cung .
Đáp án A
Ta dự đoán mà nắm trên đường tròn nằm trên đường tròn
Ta cần chứng minh theo và 
Ta có mà 
DẠNG 2: TÌM ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG QUA PHÉ VỊ TỰ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ.
Đáp án C
.
Đáp án D
.
Đáp án B
 tọa độ các điểm . Nên tọa độ trọng tâm là .
Đáp án A
Giả sử .
Đáp án D
Giả sử không thỏa mãn .
Đáp án C
 nên có dạng 
Chọn điểm thế vào 
Vậy .
Đáp án D
Tương tự câu 6 .
Đáp án A
Chọn 
Do .
Đáp án C
Đường tròn có tâm và bán kính 
. Bán kính 
 đường tròn .
Đáp án C
Đường tròn có tâm 
Bán kính phương trình .
Đáp án A
Đường tròn có tâm và bán kính 
Đường tròn có tâm và bán kính 
Gọi là tâm vị tự ngoài của phép vị tự .
Đáp án A
Đường tròn có tâm và bán kính 
Đường tròn có tâm và bán kính 
 tỉ số vị tự 
 với là tâm vị tự trong 
Vậy 
Bài tập rèn luyện
ⒹⒹ
Cho hai đường thẳng cắt nhau và . Có bao nhiêu phép vị tự biến thành đường thằng ?
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Lời giải. Chọn	A. Vì qua phép vị tự, đường thẳng biến thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Cho hai đường thẳng song song và . Có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số biến đường thẳng thành đường thẳng ?
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Lời giải. Lấy hai điểm và tùy ý trên và . Chọn điểm thỏa mãn . Khi đó phép vị tự tâm tỉ số sẽ biến thành đường thẳng .
Do và tùy ý trên và nên suy ra có vô số phép vị tự. Chọn	D.
Cho hai đường thẳng song song và và một điểm không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm biến đường thẳng thành đường thằng ?
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Lời giải. Kẻ đường thẳng qua , cắt tại và cắt tại .
Gọi là số thỏa mãn .
Khi đó phép vị tự tâm tỉ số sẽ biến thành đường thẳng .
Do xác định duy nhất (không phụ thuộc vào ) nên có duy nhất một phép vị tự.
Chọn	B.
Cho hai đường thẳng cắt nhau và . Có bao nhiêu phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành chính nó.
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Lời giải. Chọn	D. Tâm vị tự là giao điểm của và . Tỉ số vị tự là số khác 
(hoặc tâm vị tự tùy ý, tỉ số - đây là phép đồng nhất)
Cho hai đường tròn bằng nhau và với tâm và phân biệt. Có bao nhiêu phép vị tự biến thành ?
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Lời giải. Chọn	B. Phép vị tự có tâm là trung điểm , tỉ số vị tự bằng 
Cho đường tròn . Có bao nhiêu phép vị tự với tâm biến thành chính nó?
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Lời giải. Chọn	C. Tỉ số vị tự 
Cho đường tròn . Có bao nhiêu phép vị tự biến thành chính nó?
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Lời giải. Chọn	D. Phép vị tự có tâm tùy ý, tỉ số vị tự 
Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn với ?
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Lời giải. Chọn	C. Phép vị tự có tâm là , tỉ số vị tự 
Phép vị tự tâm tỉ số là phép nào trong các phép sau đây?
A. Phép đối xứng tâm.	B. Phép đối xứng trục.
C. Phép quay một góc khác .	D. Phép đồng nhất.
Lời giải. Chọn	D.
Phép vị tự tâm tỉ số là phép nào trong các phép sau đây?
A. Phép đối xứng tâm.	B. Phép đối xứng trục.
C. Phép quay một góc khác .	D. Phép đồng nhất.
Lời giải. Chọn	A.
Phép vị tự không thể là phép nào trong các phép sau đây?
A. Phép đồng nhất.	B. Phép quay.
C. Phép đối xứng tâm.	D. Phép đối xứng trục.
Lời giải. Chọn	D.
Phép vị tự tâm tỉ số biến mỗi điểm thành điểm . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có Chọn	A.
Phép vị tự tâm tỉ số lần lượt biến hai điểm thành hai điểm . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có và 
Khi đó Chọn	B.
Cho phép vị tự tỉ số biến điểm thành điểm , biến điểm thành điểm . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Theo tính chất 1, ta có . Chọn	C.
Cho tam giác với trọng tâm , là trung điểm . Gọi là phép vị tự tâm tỉ số biến điểm thành điểm . Tìm .
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Do là trung điểm nên là đường trung tuyến của tam giác 
Suy ra . Vậy . Chọn	D.
Cho tam giác với trọng tâm . Gọi lần lượt là trụng điểm của các cạnh của tam giác . Khi đó, phép vị tự nào biến tam giác thành tam giác ?
A. Phép vị tự tâm , tỉ số 	B. Phép vị tự tâm , tỉ số 
C. Phép vị tự tâm , tỉ số 	D. Phép vị tự tâm , tỉ số 
Lời giải. Theo giả thiết, ta có
Vậy biến tam giác thành tam giác .
Chọn	B. 
A'
C'
B'
G
C
B
A
Cho hình thang có hai cạnh đáy là và thỏa mãn Phép vị tự biến điểm thành điểm và biến điểm thành điểm có tỉ số là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Do là hình thang có và suy ra 
Giả sử có phép vị tự tâm tỉ số thỏa mãn bài toán.
= Phép vị tự tâm tỉ số biến điểm suy ra 
= Phép vị tự tâm tỉ số biến điểm suy ra 
Từ và , suy ra 
Mà suy ra . Chọn	B.
Nhận xét. Tâm vị tự là giao điểm của hai đường chéo trong hình thang. Bạn đọc cũng có thể chứng minh bằng hai tam giác đồng dạng.
Cho hình thang , với . Gọi là giao điểm của hai đường chéo và . Xét phép vị tự tâm tỉ số biến thành . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Từ giả thiết, suy ra .
Suy ra Kết hợp giả thiết suy ra Chọn	A.
Xét phép vị tự biến tam giác thành tam giác . Hỏi chu vi tam giác gấp mấy lần chu vi tam giác .
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Qua phép vị tự thì 
Vậy chu vi tam giác gấp 3 lần chu vi tam giác . Chọn	C.
Một hình vuông có diện tích bằng Qua phép vị tự thì ảnh của hình vuông trên có diện tích tăng gấp mấy lần diện tích ban đầu.
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Từ giả thiết suy ra hình vuông ban đầu có độ dài cạnh bằng 
Qua phép vị tự thì độ dài cạnh của hình vuông tạo thành bằng , suy ra diện tích bằng Vậy diện tích tăng gấp lần. Chọn	C.
Cho đường tròn và điểm nằm ngoài sao cho Gọi là ảnh của qua phép vị tự . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có Chọn	D.
Trong mặt phẳng tọa độ cho phép vị tự tâm tỉ số biến điểm thành điểm có tọa độ là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Gọi . Suy ra 
Ta có 
Chọn	B.
Trong mặt phẳng tọa độ cho phép vị tự tỉ số biến điểm thành điểm Hỏi phép vị tự biến điểm thành điểm có tọa độ nào sau đây?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Gọi là ảnh của qua phép vị tự 
Suy ra và 
Theo giả thiết, ta có . Chọn	C.
Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm , và . Phép vị tự tâm tỉ số biến điểm thành , biến điểm thành . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 	B. 	D. 	C. 
Lời giải. Ta có 
Từ giả thiết, ta có Chọn	B.
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm và . Phép vị tự tâm , tỉ số biến điểm thành . Tìm tọa độ tâm vị tự 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Gọi . Suy ra 
Ta có 
Chọn	D.
Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm và . Phép vị tự tâm tỉ số biến điểm thành . Tìm 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có 
Theo giả thiết: Chọn	A.
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng Phép vị tự tâm tỉ số biến thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có nên 
Chọn Ta có 
Từ Thay vào ta được Chọn	B.
Cách 2. Giả sử phép vị tự biến điểm thành điểm 
Ta có .
Thay vào ta được 
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và điểm . Phép vị tự tâm tỉ số biến đường thẳng thành có phương trình là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Nhận xét. Mới đọc bài toán nghĩ rằng đề cho thiếu dữ kiện, cụ thể không cho bằng bao nhiêu thì sao tìm được 
Để ý thấy do đó phép vị tự tâm tỉ số biến đường thẳng thành trùng với , với mọi Chọn	B.
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng , lần lượt có phương trình , và điểm . Phép vị tự tâm tỉ số biến đường thẳng thành . Tìm .
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Chọn . Ta có 
Từ .
Do nên Chọn	D.
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn và điểm . Gọi là ảnh của qua phép vị tự tâm tỉ số Khi đó có phương trình là:
A. 	B. 
C. 	D. 
Lời giải. Đường tròn có tâm và bán kính 
Gọi là tâm của đường tròn .
Bán kính của là 
Vậy . Chọn	A.