Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông năm học 2016 - 2017 môn thi: Toán (dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên toán) thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG 
NĂM HỌC 2016-2017
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho các số a, b thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức
 .
b) Cho các số nguyên dương x, y, z và biểu thức 
.
Chứng minh rằng P là số nguyên chia hết cho 6.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên thỏa mãn .
b) Cho điểm phân biệt nằm trong một tam giác đều có cạnh bằng , trong đó không có điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng luôn tìm được một tam giác có đỉnh là trong điểm đã cho mà có diện tích không lớn hơn 
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình .
b) Giải hệ phương trình 
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn và dây cung cố định. Gọi là điểm di động trên cung lớn sao cho tam giác nhọn. Bên ngoài tam giác dựng các hình vuông , và hình bình hành . 
a) Chứng minh rằng và .
b)  cắt tại . Chứng minh rằng thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng khi thay đổi trên cung lớn của thì luôn thuộc một đường tròn cố định.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 .
..HẾT..
Hướng dẫn
Câu 1
a) Cho các số a, b thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức
 .
Ta có
Từ giả thiết suy ra , thay vào T ta được:
 .
b) Ta có: 
Suy ra nếu thì 
Vì nên
Suy ra Trong ba số nguyên dương luôn có hai số cùng tính chẵn lẻ, giả sử đó là . Vì nên .
Câu 2 a) Tìm các số nguyên thỏa mãn Ta có
Nhận xét:
+) ;
+) là số chẵn; là số lẻ;
+) .
Từ các nhận xét trên ta thấy chỉ có các trường hợp (TH) sau:
 hoặc 
TH1. Phương trình không có nghiệm nguyên
H2
Vậy có hai bộ số thỏa mãn là: .
b) Giả sử 19 điểm nằm trong tam giác đều ABC cạnh bằng 3. Chia tam giác ABC thành 9 tam giác đều, có cạnh bằng 1 (gọi là tam giác nhỏ) như hình vẽ.
Mỗi tam giác nhỏ có diện tích là 
Vì có 19 điểm nằm trong 9 tam giác nhỏ nên có ít nhất 3 điểm cùng thuộc một hình tam giác nhỏ. Giả sử 3 điểm đó là .
 Khi đó tam giác nằm trong một tam giác nhỏ nên .
Câu 3 a) Giải phương trình sau: 
Điều kiện: 
Ta có 
 .
Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện. 
Vậy PT đã cho có hai nghiệm 
b) Giải hệ phương trình: 
Ta có 
ặt . Hệ đã cho trở thành: 
Với . Hệ PT này vô nghiệm.
Với 
Giải hệ này được 2 nghiệm: .
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm .
Cau 4
a) Ta có Lại có: Ta có . Gọi H là giao điểm của KA và BC, ta có: 
 . Vậy .
b) Vì mà 
Vì Ta lại có . Tương tự ta có . Từ (1)(2) suy ra M là trực tâm , suy ra . Vậy A, K, M thẳng hàng.
c) Dựng hình vuông trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung lớn , suy ra cố định. Ta có AKB’B là hình bình hành (vì cùng vuông góc suy ra ; ). Do đó Tương tự ta có là hình bình hành suy ra Suy ra Vì khi A thay đổi trên cung lớn của đường tròn thì K luôn nhìn đoạn cố định dưới một góc không đổi . Do đó K thuộc quỹ tích cung chứa góc dựng trên đoạn cố định.
 Câu 5
	Đặt 2x+y=a; 2y+x=b a,b >0 thì 
Ta có 
Tương tự 
Mặt khác 
Vậy