Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông năm học 2015 - 2016 môn toán thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2015-2016
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình : 
b) Trong các hình sau, hình nào nội tiếp đường tròn: Hình vuông; hình chữ nhật; hình thang cân; hình thang vuông.
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình: (I) ( với m là tham số)
a) Giải hệ phương trình (I) với m=1.
b) Chứng minh hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất với mọi m. Tìm nghiệm duy nhất đó theo m.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho Parabol (P): và đường thẳng (d) có phương trình: 
a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m=3.
b) Chứng minh (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.
c) Gọi là hoành độ giao điểm A, B. Tìm m để 
Câu 4 (3,0 điểm) 
Cho đường tròn (O; R) dây DE < 2R. Trên tia đối của tia DE lấy điểm A, qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O), (B, C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm DE, K là giao điểm của BC và DE. 
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
b) Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC. Chứng minh rằng H thuộc đường tròn (I) và HA là phân giác 
c) Chứng minh rằng: 
Câu 5 (1,0 điểm)
 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
-------------- HẾT--------------
Họ và tên thí sinh: ...................................................................... SBD: .................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2015-2016
Môn Toán
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
------------------------
Câu 1 (1,5 điểm) 
a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn và là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Câu 2 (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: 
 b) Tìm m để phương trình: có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 3 (2,0 điểm) 
a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình: 
Câu 4 (3,5 điểm) 
Cho đường tròn (O; R) và dây cung cố định. Điểm A di động trên cung lớn sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.
a) Chứng minh KA là phân giác trong góc và tứ giác BHCK nội tiếp.
b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo R.
c) Chứng minh AK luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
-------------- HẾT--------------
Họ và tên thí sinh: ............................................................................. Số báo danh: ...............
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm) a)Giải phương trình: 
 b)Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn: 
Câu 2 (2,0 điểm)
Phép toán T được định nghĩa như sau: với a và b là các số thực khác 0 
tùy ý. Thí dụ: . Tính giá trị biểu thức: 
Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 
Chứng minh rằng: 
Câu 3 (2,0 điểm) 
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính phương.
Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau:
12345678910111213141516...9989991000.
Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2. Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?
Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho trên cạnh BC lấy điểm F sao cho 
Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc đường thẳng OB là phân giác trong của góc Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng.
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF. Chứng minh bốn điểm A, B, H,O cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5 (1,0 điểm)Cho x là một số thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
------------------------------------ Hết --------------------------------------
Họ và tên thí sinh: .......................................................................... Số báo danh: ..........................
Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN ĐỀ THI THPT PHÚ THỌ 2015
	( Chung cho cả thí sinh thi vào chuyên Hùng vương)
Câu 1 (2 điểm)
a) Giải phương trình : 
b)Trong các hình sau, hình nào nội tiếp đường tròn: Hình vuông; hình chữ nhật; hình thang cân; hình thang vuông.
Hướng dẫn
a) (0,5 điểm)
Vậy phương trình có nghiệm x=1
b) (1,5 điểm)
Hình vuông,hình chữ nhật, hình thang cân
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình: (I) ( với m là tham số)
a) Giải hệ phương trình (I) với m=1.
Chứng minh hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất với mọi m. Tìm nghiệm duy nhất
Hướng dẫn
a) (1 điểm)
 Thay m=1 ta có hệ phương trình: 
Vậy với m=1 hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x;y) = (2; 1)
b) (1,0điểm)
Từ (1) ta có thay vào (2) ta có 
Câu 3 (2 điểm)
Cho Parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình 
Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m=3.
Chứng minh (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.
c)Gọi là hoành độ giao điểm A, B. Tìm m để 
Hướng dẫn
a) (1 điểm)
Thay m=3 ta có (d): 
Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) khi m=3 là: 
Giải phương trình: Tọa độ giao điểm (P) và (d) là (1;1); (7; 49)
b) (0,5 điểm)
Xét phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): 
Nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt . Suy ra (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m
c) (0,5 điểm)
Ta có là nghiệm phương trình (1) vì theo Viet ta có:
Thay hệ thức Viet ta có: 
Câu 4 (3 điểm) 
Cho đường tròn (O; R) dây DE < 2R. Trên tia đối DE lấy điểm A, qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O), (B, C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm DE, K là giao điểm của BC và DE. 
Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC. Chứng minh rằng H thuộc đường tròn (I) và HA là phân giác 
c)Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn
a) (1 điểm)
Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
Ta có: (gt) suy ra 
Nên tứ giác ABOC nội tiếp ( theo định lý đảo)
b) (1,5 điểm)
 Gọi đường tròn (I) ngoại tiếp tứ giác ABOC. Chứng minh rằng H thuộc đường tròn (I) và HA là phân giác 
Ta có nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC là trung điểm của AO
Vì nên H thuộc đường tròn (I) Theo tính chất tiếp tuyến giao nhau thì Ta có: ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Hay HA là phân giác góc 
c) (0,5 điểm)
 Chứng minh rằng: 
Xét tam giác và có (chung); 
Nên đồng dạng (g.g) suy ra: (1)
Xét tam giác và có (chung); 
Nên đồng dạng (g.g) suy ra: (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Câu 5 (1 điểm)
 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: 
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Hướng dẫn
Ghi chú: Ta có 
nên 
Từ (*) suy ra: 
. Ta có với A ,B ,C >0 
Bất đẳng thức (I), (II),(III) xảy ra dấu khi A=B=C.
Áp dụng Bất đẳng thức: (I) ta có 
Áp dụng (II) ta có Ta lại có: 
Từ (1);(2);(3) ta có:
Áp dụng (III)
 nên 
Vậy giá trị lớn nhất của khi 
HƯỚNG DẪN THI CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ 2015(Chuyên Toán)
Câu 1 (1,5 điểm) 
a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn và là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Hướng dẫn
a) (0,5 điểm)
Ta có với mọi số nguyên m thì chia cho 5 dư 0 , 1 hoặc 4.
+ Nếu chia cho 5 dư 1 thì 
 nên không là số nguyên tố.
+ Nếu chia cho 5 dư 4 thì 
 nên không là số nguyên tố.
Vậy hay n chia hết cho 5.
b) (1,0 điểm)
Để phương trình (1) có nghiệm nguyên x thì theo y phải là số chính phương
Ta có 
chính phương nên 
+ Nếu thay vào phương trình (1) ta có : 
+ Nếu 
+ Nếu 
+ Với thay vào phương trình (1) ta có: 
+ Với thay vào phương trình (1) ta có: 
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên : 
Câu 2 (2,0 điểm) 
 a) Rút gọn biểu thức: 
 b) Tìm m để phương trình: có 4 nghiệm phân 
biệt.
Hướng dẫn
a) (1,0 điểm)
 Vậy 
b) (1,0 điểm)
Phương trình 
Đặt phương trình (1) trở thành:
Nhận xét: Với mỗi giá trị thì phương trình: có 2 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệtphương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
Vậy với thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 3 (2,0 điểm) 
a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn
) (1,0 điểm)
Điều kiện: (*).
Ta có: 
Đặt (Điều kiện:), phương trình trở thành 
+Với không thỏa mãn điều kiện (**).
+ Với ta có phương trình:
thỏa mãn điều kiện (*). Vậy phương trình có nghiệm 
b) (1,0 điểm)
Từ phương trình (1) ta có 
+ Trường hợp 1: 
Với không thỏa mãn phương trình (2).
+ Trường hợp 2: thay vào phương trình (2) ta có:
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung cố định. Điểm A di động trên cung lớn sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.
a) Chứng minh KA là phân giác trong góc và tứ giác BHCK nội tiếp.
b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo R.
c) Chứng minh AK luôn đi qua điểm cố định.
Hướng dẫn
a) (1,5 điểm)
Ta có (vì cùng chắn cung của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB)
Mà (tính chất đối xứng) suy ra (1)
 (vì cùng chắn cung của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFC)
 (tính chất đối xứng) suy ra (2)
Mặt khác (cùng phụ với ) (3). Từ (1), (2) , (3) suy ra 
hay KA là phân giác trong của góc 
Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của BE với AC và CF với AB.
Ta có nên . Trong tam giác vuông ABP 
có hay .
Tứ giác APHQ có (đối đỉnh).
Ta có , (theo chứng minh phần a).
Mà suy ra 
nên tứ giác BHCK nội tiếp.
b) (1,5 điểm)
Gọi (O’) là đường tròn đi qua bốn điểm B, H,C, K. Ta có dây cung nên bán kính đường tròn (O’) bằng bán kính R của đường tròn (O). Gọi M là giao điểm của AH và BC thì MH vuông góc với BC, kẻ KN vuông góc với BC (N thuộc BC), gọi I là giao điểm của HK và BC. 
Ta có 
 (do HM HI; KNKI ). Ta có KH là dây cung của đường tròn (O’; R) suy ra (không đổi)
nên lớn nhất khi và 
Giá trị lớn nhất 
Khi HK là đường kính của đường tròn (O’) thì M, I, N trùng nhau suy ra I là trung điểm của BC nên cân tại A. Khi đó A là điểm chính giữa cung lớn 
c) (0,5 điểm)
Ta có suy ra 
 nên tứ giác BOCK nội tiếp đường tròn.
Ta có OB=OC=R suy ra hay KO là phân giác góc 
 theo phần (a) KA là phân giác góc nên K ,O, A thẳng hàng hay AK đi qua O cố định
Câu 5 (1,0 điểm) 
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn
Ta có 
Đặt thì và 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có 
Tương tự: 
Từ (1); (2); (3) ta có Đẳng thức xảy ra hay Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 
HƯỚNG DẪN THI CHUYÊN HÙNG VƯƠNG PHÚ THỌ 2015(Chuyên Tin)
Câu 1 (2,0 điểm) 
Giải phương trình: 
b)Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn: 
Hướng dẫn
a) (1,00 điểm) 
Phương trình đã cho tương đương với phương trình 
Phương trình có nghiệm 
b) (1,00 điểm) 
Cộng vế với vế các phương trình đã cho ta được 
 Phương trình đầu có dạng 
Phương trình thứ hai có dạng 
Thử lại thỏa mãn. Vậy 
Câu 2 (2,0 điểm)
Phép toán T được định nghĩa như sau: với a và b là các số thực khác 0 
tùy ý. Thí dụ: . Tính giá trị biểu thức: 
Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 
Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn
a) (1,00 điểm) 
Theo định nghĩa phép toán T, ta có:
; Suy ra 
Vậy 
b) (1,00 điểm) 
Ta ký hiệu các điều kiện như sau
Dễ thấy các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt.
Do (3) nên b khác 0. Chia hai vế của (2) cho b2 ta được
Từ (1), (3) và (4) suy ra và là hai nghiệm khác nhau của phương trình
Theo định lí Vi-ét: Từ đó
 Suy ra điều phải chứng minh.
Câu 3 (2,0 điểm) 
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính phương.
Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau:
12345678910111213141516...9989991000.
Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2. Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?
Hướng dẫn
a) (1,00 điểm) 
Giả sử a và b là các số tự nhiên sao cho 
Suy ra 
Hay 
Vì và là các số có cùng tính chẵn lẻ và nên chỉ xảy ra hai trường hợp
Trường hợp thứ nhất 
 Thỏa mãn.
Trường hợp thứ hai
 Không thỏa mãn.
Vậy 
b) (1,00 điểm)
Trong dãy số nói trên, 9 số đầu tiên: 1,2,3,...,9 là các số có 01 chữ số.
90 số tiếp theo: 10,11,12,...,99 là các số có 02 chữ số.
900 số tiếp theo: 100,101,102,...,999 là các số có 03 chữ số.
Như vậy, bằng cách viết nói trên ta thu được một số có: 
 chữ số.
Vì nên chữ số thứ 2016 của dãy số là một chữ số của số có 03 chữ số Ta có số có 03 chữ số đầu tiên là 100, số có 03 chữ số thứ 609 là do đó chữ số thứ 2016 trong dãy đã cho là chữ số 8.
Câu 4 (3,0 điểm) 
Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho trên cạnh BC lấy điểm F sao cho 
Chứng minh rằng đường thẳng OA là phân giác trong của góc đường thẳng OB là phân giác trong của góc Từ đó suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng.
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF. Chứng minh bốn điểm A, B, H,O cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AB thì đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định
Hướng dẫn
a) (1,00đ) 
Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc, hai đường chéo tạo với các cạnh của hình vuông góc 45o.
Tam giác AME vuông cân đỉnh A suy ra 
Suy ra 
Vậy OA là phân giác trong của góc 
Chứng minh tương tự, ta có OB là phân giác trong của góc 
Mặt khác, hay E, O, F thẳng hàng. Điều phải chứng minh.
b) (1,00đ) 
Tứ giác AEHM nội tiếp đường tròn đường kính ME nên 
Tứ giác BFHM nội tiếp đường tròn đường kính MF nên 
Suy ra Ta thấy O và H cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên bốn điểm A, B, H,O cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
c) (1,00đ) 
Đường thẳng MH cắt đường tròn đường kính AB tại điểm thứ hai I (I khác H).
Ta có nên I là điểm chính giữa cung AB (không chứa O) của đường tròn đường kính AB. 
Do A, B, O là các điểm cố định nên I là điểm cố định (I đối xứng với O qua đường thẳng AB).
Vậy, khi M di động trên cạnh AB, đường thẳng MH luôn đi qua điểm cố định I (I đối xứng với O qua đường thẳng AB).
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x là một số thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Hướng dẫn
Xét đồ thị của hàm số 
Trên mỗi miền (gồm 05 miền), là các hàm số bậc nhất.
Đồ thị hàm số là đường gấp khúc gồm 02 tia và 03 đoạn thẳng liên tiếp nhau. Mặt khác nên tồn tại giá trị nhỏ nhất của trên và giá trị nhỏ nhất này sẽ đạt được tại đầu mút nào đó của các tia hoặc các đoạn thẳng.
Nói cách khác: 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 8, đạt được khi