Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh năm học 2015 - 2016 môn: Toán thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề

UBND HUYỆN THANH SƠN
PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang) 
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN 
HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP TỈNH
Năm học 2015 - 2016
Môn: Toán 
Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1(3,0 điểm).
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn .
Tìm số nguyên dương n sao cho tất cả các số n+1, n+5, n+7, n+13, n+17, n+25, n+37 đều là số nguyên tố.
Câu 2(4,0 điểm). 
Cho . Tính giá trị biểu thức P = 
Cho (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng:
Câu 3 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
	a) ;
b) .
Câu 4 (7,0 điểm).
	1. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của nửa đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:
	a) AC là tia phân giác của góc BAE;
	b) CH2 = AE.BF.
	2. Gọi M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng:
	a) Ba điểm D, H, F thẳng hàng;
	b) Đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
Câu 5 (2,0 điểm). Cho thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 
Hết
(Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:.....................................................Số báo danh:......................
UBND HUYỆN THANH SƠN
PHÒNG GD&ĐT
(Đáp án có 04 trang) 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
 Thi chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp Tỉnh 
Năm học 2015-2016
 Môn: Toán 9
Câu 1(3,0 điểm).
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn .
Tìm số nguyên dương n sao cho tất cả các số n+1, n+5, n+7, n+13, n+17, n+25, n+37 đều là số nguyên tố.
Đáp án
Điểm
a)(1,5 điểm). 
Phương trình tương đương 
0,25
 Suy ra nên x-2
0,25
Lập bảng ta được
x-2
-2
-1
0
1
2
x
0
1
2
3
4
y
0
0;1
 (loại)
1;2
2
0,75
Vậy PT có 6 nghiệm (x, y) = (0;0); (1;0); (1;1); (3;2); (3;1); (4;2)
0,25
b)(1,5 điểm). 
Xét n=7k () loại vì n+7=7k+7>7 và chia hết cho 7
Xét n=7k+1 () loại vì n+13=7k+14>7 và chia hết cho 7
Xét n=7k+2 () 
 Với loại vì n+5=7k+7>7 và chia hết cho 7
 Với k = 0 => n=2 loại vì n+7=9 không là số nguyên tố
0,25
0,25
Xét n=7k+3 () loại vì n+25=7k+28>7 và chia hết cho 7
Xét n=7k+4 () loại vì n+17=7k+21>7 và chia hết cho 7
Xét n=7k+5 () loại vì n+37=7k+42>7 và chia hết cho 7
Xét n=7k+6 () 
 Vớiloại vì n+1=7k+7>7 và chia hết cho 7
 Với k = 0 => n = 6. Khi đó 
n+1=7, n+5=11, n+7=13, n+13=19, n+17=23, n+25=31, n+37=43 đều là số nguyên tố. Vậy n = 6 thỏa mãn bài toán.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2(4,0 điểm). 
Cho . Tính giá trị biểu thức P = 
Cho (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng:
Đáp án
Điểm
a)( 2 điểm). Đặt ; . 
0,5
Ta có a3 + b3 = 2 và ab = 
Khi đó x = a + bx3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
0,5
x3 = 2 – x x3 + x - 2 = 0 (x – 1)(x2 + x + 2) = 0
=> x = 1 (Vì x2 + x + 2 > 0)
0,5
Khi đó P = .
0,5
b)( 2 điểm). 
Từ giả thiết suy ra ab+ bc + ca = 0. Do đó => 
0,75
Chứng minh được bài toán phụ: Nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz 
0,75
Áp dụng với ta được 
0,5
Câu 3 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
 a) ; b) 
Đáp án
Điểm
a)( 2 điểm). Đặt 
0,25
PT 
0,5
Nếu a=7b ta có 
x=2 hoặc x=4
0,5
Nếu 2a= -b ta có 
 hoặc 
0,5
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm x = 2; x = 4; ; 
0,25
b)( 1 điểm). ĐK: hoặc (*)
Với điều kiện (*), phương trình đã cho tương đương với:
0,25
0,5
(**)
0,5
Do nên 
0,5
Nên PT (**) (Thỏa mãn điều kiện (*)). Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất 
0,25
Câu 4 (7,0 điểm).
	1. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của nửa đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:
	a) AC là tia phân giác của góc BAE;
	b) CH2 = AE.BF.
	2. Gọi M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng:
	a) Ba điểm D, H, F thẳng hàng;
	b) Đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
Đáp án
Điểm
1.( 4 điểm). 
a) (2 điểm). 
Tam giác OAC cân tại O nên góc CAB = góc OCA 
0,5
AE//OC nên góc CAE = góc OCA (so le trong)
0,5
Suy ra góc CAB = góc CAE, do đó AC là tia phân giác của góc BAE
1,0
b) (2 điểm). 
CAE = CAH (cạnh huyền – góc nhọn) => AE = AH. Tương tự BF = BH
0,5
ABC có đường trung tuyến CO ứng với cạnh AB bằng nửa cạnh AB nên 
ABC vuông tại C.
0,5
Áp dụng hệ thức lượng vào ABC vuông tại A ta có CH2 = AH.BH 
hay CH2 = AE.BF.
1,0
2.( 3 điểm). * Vẽ hình: 
(1,5 điểm) Xét CAB có CMAB, BEAC suy ra AEBC
Gọi O là giao điểm AC và DM => OH=, do đó OH=
0,5
Tam giác MHD có đường trung tuyến HO bằng nửa DM nên góc MHD=900.
0,5
Tương tự góc MHF=900. Suy ra ba điểm D, H, F thẳng hàng.
0,5
b) (1,5 điểm) Gọi I là giao điểm của DF và AC, tam giác DMF có DO=OM, OI//MF nên I là trung điểm của DF.
0,5
Kẻ II’AB thì I’ là trung điểm của AB và II’=
0,5
Do đó I là điểm cố định: I nằm trên đường trung trực của AB và cách AB một khoảng bằng 
0,5
Câu 5 (2,0 điểm). Cho thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 
Đáp án
Điểm
Theo BĐT x2 + y2 2xy ta có
0,5
Lập luận tương tự với các biểu thức .
Suy ra
 VT
0,5
0,5
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
0,5
--------------------HẾT--------------------