Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt năm học 2007 - 2008 đề chính thức môn thi: Toán thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

 Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Định  
 1 
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
 BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2007 - 2008 
 Đề chính thức 
 Mơn thi: Tốn 
 Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) 
Bài 1: (2 điểm) 
a/ Rút gọn biểu thức A =
5 5
1 5


b/ Chứng minh đẳng thức: 
a b 2b
1
a ba b a b
  
 
 với a ≥ 0; b ≥ 0 và a ≠ b 
Bài 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0 
Bài 3: (2 điểm) 
Một ca nơ chạy trên sơng, xuơi dịng 120km và ngược dịng 120km, thời gian cả đi và về 
hết 11 giờ. Hãy tìm vận tốc ca nơ trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h. 
Bài 4: (3,5 điểm) 
Cho tam giác đều ABC cĩ đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M khơng trùng 
với B và C). Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuơng gĩc kẽ tử M đến AB và AC, O là trung 
điểm của AM. Chứng minh rằng: 
a/ Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường trịn 
b/ Tứ giác OPHQ là hình gì? 
c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ cĩ độ dài nhỏ nhất. 
Bài 5: (1 điểm) 
Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: 
2 2 2 2
3 3 3 3
2a 3b 2b 3a 4
2a 3b 2b 3a a b
 
 
  
 //  
 Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Định  
 2 
GỢI Ý 
Bài 1: (2 điểm) 
a/ A =
5 5
1 5


 = 
 5 5 1
5
1 5



b/ Với a ≥ 0; b ≥ 0 và a ≠ b, ta cĩ 
a b 2b
a ba b a b
 
 
 = 
   a a b b a b 2b
a b a b a b
 
 
  
= 
a ab ab b 2b
a b a b a b
 
 
  
=
a ab ab b 2b
a b a b
  

 
=
a b 2b
a b a b


 
= 
a b 2b a b
1
a b a b
  
 
 
Bài 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0 
Ta cĩ:  = 32 – 4.(–108) = 441 > 0 
Do đĩ phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 = 
3 21
9
2
 
 ; x2 = 
3 21
12
2
 
  
Bài 3: (2 điểm) 
Gọi x (km/h) là vận tốc ca nơ khi nước yên lặng (x > 2) 
Thời gian ca nơ lúc xuơi dịng là: 
120
x 2
(giờ) 
Thời gian của ca nơ lúc ngước dịng là 
120
x 2
( giờ) 
Ta cĩ pt: 
120
x 2
+ 
120
x 2
= 11 
 120(x – 2) + 120(x + 2) = 11(x – 2)(x + 2) 
 11x2 – 240x – 44 = 0 
Cĩ ’ = 1202 + 11.44 = 14400 + 484 = 14884 > 0  ' = 122 
Do đĩ x1 = 
2
11

 (loại); x2 = 22 (thỏa mãn) 
Vậy vận tốc ca nơ khi nước yên lặng là 22km/h 
Bài 4: (3,5 điểm) 
a/ Chứng minh A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường trịn 
Ta cĩ: APM= AHM= AQM= 900 
 Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường 
trịn đường kính AM 
b/ Tứ giác OPHQ là hình gì? 
Vì O là trung điểm AM nên O là tâm đường trịn 
đường kính AM 
 OP = OH = OQ 
Mặt khác, xét đường trịn đường kính AM: 
POH = HOQ = 600 (=2. PAH ) 
OPH và OHQ là các tam giác đều bằng nhau 
 OP = PH = HQ = OQ. Do đĩ tứ giác OPHQ là hình thoi 
c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ 
A
B C
P
Q
O
H M
 Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Định  
 3 
Ta cĩ: PQ = OQ 3 = OM 3 = 
AM 3
2
PQ nhỏ nhất  AM nhỏ nhất  AM vuơng gĩc BC  M trùng H 
Vậy M trùng H thì PQ cĩ độ dài nhỏ nhất. 
Bài 5: (1 điểm) 
Đặt 
a
t
b
 . Do a > 0, b > 0 nên t > 0. 
 Khi đĩ BĐT 
2 2 2 2
3 3 3 3
2a 3b 2b 3a 4
2a 3b 2b 3a a b
 
 
  
 (1) trở thành 
2 2
3 3
2t 3 2 3t 4
2t 3 2 3t t 1
 
 
  
 (2t2 + 3)(2 + 3t3)(t + 1) + (2 + 3t2)(2t3 + 3)(t + 1) ≤ 4(2t3 + 3)(2 + 3t3) 
 (t + 1)(12t5 + 13t3 + 13t2 + 12) ≤ 4 (6t6 + 13t3 + 6) 
 12 (t6 – t5 – t + 1) – 13t2(t2 – 12t + 1)  0 
 12 (t – 1)2 (t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2 (t – 1)2  0 
 (t – 1)2 [12(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2)]  0 (2) 
Ta cĩ: 12(t
4
 + t
3
 + t
2
 + t + 1) – 13t2) = 12t4 + 12t(t – 1)2 + 23t2 + 12 > 0,  t > 0 
Do đĩ BĐT (2) đúng với mọi t > 0 
Suy ra BĐT (1) đúng với mọi a, b > 0 
Dấu “=” xảy ra  t = 1  a = b.