Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học: 2010 – 2011 môn: Toán thời gian làm bài: 120 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
 HÀ NỘI Năm học: 2010 – 2011 
 ðỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN 
 Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài I (2,5 điểm) 
 Cho biểu thức x 2 x 3x 9A
x 9x 3 x 3
+
= + −
−+ −
, với x ≥ 0 và x ≠ 9 
 1) Rút gọn biểu thức A. 
 2) Tìm giá trị của x để 1A
3
= . 
 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 
Bài II (2,5 điểm) 
 Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: 
 Một mảnh đất hình chữ nhật cĩ độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn 
chiều rộng 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đĩ. 
Bài III (1,0 điểm) 
 Cho parabol (P) : y = − x2 và đường thẳng (d) : y = mx − 1 
 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luơn cắt parabol (P) 
tại hai điểm phân biệt. 
 2) Gọi x1, x2 lần lượt là hồnh độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol 
(P). Tìm giá trị của m để : 2 21 2 2 1 1 2x x x x x x 3+ − = 
Bài IV (3,5 điểm) 
 Cho đường trịn (O) cĩ đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường trịn đĩ (C 
khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm 
E, tia AC cắt tia BE tại điểm F. 
 1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp. 
 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC 
 3) Chứng minh 
 
CFD OCB= . Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác FCDE, 
chứng minh IC là tiếp tuyến của đường trịn (O) . 
 4) Cho biết DF = R, chứng minh tg 
AFB 2= . 
Bài V (0,5 điểm) 
 Giải phương trình : 2 2x 4x 7 (x 4) x 7+ + = + + 
BÀI GIẢI 
Bài I: (2,5 điểm) Với x ≥ 0 và x ≠ 9 ta cĩ : 
1) A = 2 3 9
93 3
x x x
xx x
+
+ −
−+ −
 = 
( 3) 2 ( 3) 3 9
9 9 9
x x x x x
x x x
− + +
+ −
− − −
3 2 6 3 9
9
x x x x x
x
− + + − −
=
−
3 9
9
x
x
−
=
−
3( 3)
9
x
x
−
=
−
3
3x
=
+
2) A = 1
3
3
3x
=
+
 ⇔ 3 9x + = ⇔ 6x = ⇔ x = 36 
3) A 3
3x
=
+
 lớn nhất ⇔ 3x + nhỏ nhất ⇔ 0x = ⇔ x = 0 
Bài II: (2,5 điểm) 
 Gọi x (m) là chiều rộng của hình chữ nhật (x > 0) 
 ⇒ chiều dài của hình chữ nhật là x + 7 (m) 
 Vì đường chéo là 13 (m) nên ta cĩ : 2 2 213 ( 7)x x= + + ⇔ 22 14 49 169 0x x+ + − = 
 ⇔ x2 + 7x – 60 = 0 (1), (1) cĩ ∆ = 49 + 240 = 289 = 172 
 Do đĩ (1) ⇔ 7 17
2
x
− −
= (loại) hay 7 17 5
2
x
− +
= = 
 Vậy hình chữ nhật cĩ chiều rộng là 5 m và chiều dài là (x + 7) m = 12 m 
Bài III: (1,0 điểm) 
 1) Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là: 
 -x
2
 = mx – 1 ⇔ x2 + mx – 1 = 0 (2), phương trình (2) cĩ a.c = -1 < 0 với mọi m 
 ⇒ (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt trái dấu với mọi m ⇒ (d) luơn cắt (P) tại 2 điểm 
phân biệt. 
 2) x1, x2 là nghiệm của (2) nên ta cĩ : 
 x1 + x2 = -m và x1x2 = -1 
2 2
1 2 2 1 1 2 3x x x x x x+ − = ⇔ 1 2 1 2( 1) 3x x x x+ − = ⇔ 1( 1) 3m− − − = 
 ⇔ m + 1 = 3 ⇔ m = 2 
Bài IV: (3,5 điểm) 
 1) Tứ giác FCDE cĩ 2 gĩc đối 
 
oFED 90 FCD= = 
 nên chúng nội tiếp. 
 2) Hai tam giác vuơng đồng dạng ACD và DEB vì 
 hai gĩc 
 
CAD CBE= cùng chắn cung CE, nên ta 
 cĩ tỉ số : DC DE DC.DB DA.DE
DA DB
= ⇒ = 
 3) Gọi I là tâm vịng trịn ngoại tiếp với tứ giác 
 FCDE, ta cĩ 
 
CFD CEA= (cùng chắn cung CD) 
 Mặt khác 
 
CEA CBA= (cùng chắn cung AC) 
 và vì tam OCB cân tại O, nên 
 
CFD OCB= . 
 Ta cĩ : 
 
 
ICD IDC HDB= = 

 
OCD OBD= và 
 
 0HDB OBD 90+ = 
 ⇒ 
 
 0OCD DCI 90+ = nên IC là tiếp tuyến với đường trịn tâm O. 
 Tương tự IE là tiếp tuyến với đường trịn tâm O. 
 4) Ta cĩ 2 tam giác vuơng đồng dạng ICO và FEA vì cĩ 2 gĩc nhọn 

 
 
1CAE COE COI
2
= = (do tính chất gĩc nội tiếp) 
 Mà 
 CO RtgCIO 2RIC 2
= = = ⇒ 
 
tgAFB tgCIO 2= = . 
Bài V: (0,5 điểm) 
 Giải phương trình : 2 24 7 ( 4) 7x x x x+ + = + + 
I 
A B 
F 
E 
C 
O 
D 
 ðặt t = 2 7x + , phương trình đã cho thành : 2 4 ( 4)t x x t+ = + 
 ⇔ 2 ( 4) 4 0t x t x− + + = ⇔ ( )( 4) 0t x t− − = ⇔ t = x hay t = 4, 
 Do đĩ phương trình đã cho ⇔ 2 27 4 7x hay x x+ = + = 
 ⇔ x2 + 7 = 16 hay 
2 27
7
x x
x
 + =

≥
 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = 3± 
Cách khác : 
2 24 7 ( 4) 7x x x x+ + = + + ⇔ 2 27 4( 4) 16 ( 4) 7 0x x x x+ + + − − + + = 
 ⇔ 2 2 2( 4)(4 7) ( 7 4)( 7 4) 0x x x x+ − + + + − + + = 
 ⇔ 2 27 4 0 ( 4) 7 4 0x hay x x+ − = − + + + + = 
 ⇔ 2 27 4 7x hay x x+ = + = ⇔ x2 = 9 ⇔ x = 3± 
TS. Nguyễn Phú Vinh 
(TT BDVH và LTðH Vĩnh Viễn)