TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC, LẦN V NĂM HỌC 20132014 Môn: Toán Khối AA 1 . Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số = - - + y x x mx 3 2 3 2 có đồ thị ( ) m C . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 0 m = 2. Tìm số thực m để đồ thị hàm số ( ) m C có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình : + - = - x x x x x 4 3 4cos2 8cos 1 sin2 cos2 sin2 Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: ( ) ì - - - - - - + = ï + í ï é ù - + = + ë û î x x x y y y y y x y x 3 3 2 2 3 1 3 6 9 2 ln 0 1 log 3 log 1 . Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân : - = - ò e e x I dx x x 8 3 2 2 ln 1 ln . Câu 5 (1,0 điểm). Cho lăng trụ 1 1 1 ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 2 4 AB , BC = = .Hình chiếu vuông góc của điểm 1 A trên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trung điểm của AC . Góc giữa hai mặt phẳng ( ) 1 1 BCC B và ( ) ABC bằng 0 60 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 AA và BC . Câu 6 (1,0 điểm). Cho , , a b c là các số thực không âm thoả mãn 5 a b c + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 4 4 S a b b c c a = + + II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn. Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình : 2 1 0 AB x y + - = , phương trình : 3 4 6 0 AC x y + + = và điểm ( ) 1;3 M nằm trên đường thẳng BC thoả mãn 3 2 MB MC = . Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC . Câu 8.a (1,0 đ iểm). Trong không gian với hệ toạ độOxyz ,cho hình thoi ABCD với ( ) 1;2;1 A - , ( ) 2;3;2 B . Tìm toạ độ các đỉnh , C D biết tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng 1 2 : 1 1 1 x y z d + - = = - - Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức z thoả mãn ( ) 2 2 1 1 z z i iz + = - + - . Tính mô đun của 4 1 z z + + . B. Theo chương trình Nâng cao. Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22 , đường thẳng AB có phương trình 3 4 1 0 x y + + = , đường thẳng BD có phương trình 2 3 0 x y - - = . Tìm toạ độ các đỉnh , , , . A B C D Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độOxyz cho tam giá ABC , ( ) ( ) ( ) 0;0;3 , 0;1;0 , 2;0;0 A B C - . Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm là H (H là trực tâm tam giác ABC ) và tiếp xúc với trục Ox . Câu 9.b (1,0 điểm).Cho các số phức 1 2 cos . , cos . z i sin z i sin a a b b = + = + thoả mãn 1 2 4 3 5 5 z z i + = + . Tính ( ) tan a b + HẾT Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang) Trang 1/6 TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC, LẦN V NĂM HỌC 20132014 Môn: Toán Khối AA 1 . Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) I/ Đáp án Câu Đáp án Điểm Cho hàm số = - - + y x x mx 3 2 3 2 có đồ thị ( ) m C . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 0 m = Khi 0 m = hàm số có dạng = - + y x x 3 2 3 2 có tập xác định là ¡ . 0.25 Ta có: ( ) = - = - y x x x x 2 ' 3 6 3 2 ( ) = Û - = y x x ' 0 3 2 0 0 2 x ; x Û = = 0 y¢ > khi 0 x Þ hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) 0 ; -¥ và ( ) 2;+¥ 0 y¢ < khi 0 2 x < < Þ hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 0 2 ; . Hàm số đạt cực đại tại 0 0 2 CD x y y( ) = Þ = = ; Hàm số đạt cực tiểu tại 2 2 2 CT x y y( ) = Þ = = - ; Giới hạn 3 3 3 3 3 2 3 2 lim lim 1 ; lim lim 1 x x x x y x y x x x x x ®+¥ ®+¥ ®-¥ ®-¥ æ ö æ ö = - + = +¥ = - + = -¥ ç ÷ ç ÷ è ø è ø 0.25 Bảng biên thiên: x 0 2 + y¢ + 0 0 + y 2 + 2 0.25 Đồ thị: f(x)=x^33x^2+2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y 0.25 2. Tìm số thực m để đồ thị hàm số ( ) m C có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân. Câu 1 (2 điểm) 2 3 6 y x x m ¢ = - - .Hàm số có hai cực trị 0 y¢ Û = có hai nghiệm phân biệt 9 3 0 3 m m ¢ Û D = + > Û > - 0.25 Đáp án chính thức (gồm 06 trang) Trang 2/6 Ta có ( ) 1 1 . 2 1 2 3 3 3 m m y x y x æ ö ¢ = - - + + - Þ ç ÷ è ø Đường thẳng ( ) D đi qua hai điểm cực trị của đồ thị có phương trình ( ): 2 1 2 3 3 m m y x æ ö D = - + + - ç ÷ è ø 0.25 ( ) ( ) ( ) 6 6 ;0 , 0; 2 3 3 m m Ox A Oy B m ì ü æ ö ì ü - - ï ï æ ö D Ç = D Ç = ç ÷ í ý í ý ç ÷ ç ÷ + è ø î þ ï ï è ø î þ 0.25 Tam giác OAB cân ( ) 6 6 9 3 6; ; 2 3 2 2 2 m m OA OB m m m m - - Û = Û = Û = = - = - + đối chiếu điều kiện và tồn tại tam giác OAB 3 2 m Þ = - 0.25 Giải phương trình : + - = - x x x x x 4 3 4cos2 8cos 1 sin2 cos2 sin2 Đ/K ( ) sin 2 cos2 0 8 2 sin 2 0 2 x l x x l x x l p p p ì ¹ + ï - ¹ ì ï Û Î í í ¹ î ï ¹ ï î Z ( ) * Ta có ( ) 2 4 1 cos 4 8cos 2 1 cos2 2 1 2cos 2 3 4cos2 cos4 2 x x x x x x + æ ö = + = + + = + + ç ÷ è ø 0.25 Với Đ/K ( ) * phương trình đã cho ( )( ) cos 4 1 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 x x x x x x x x x x Û - = Û - + = - - 0.25 ( ) ( ) sin 2 cos2 0 1 cos 2 4 4 2 sin 2 cos 2 1 ( ) x x loai x k x k x x x k loai p p p p é é - = = + æ ö ê Û Û - = Û Î ê ç ÷ ê + = è ø ë = ë Z 0,25 Câu 2 (1 điểm) Vây phương trình có một họ nghiệm duy nhất : ( ) 4 x k k p p = + ÎZ 0.25 Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ì - - - - - - + = ï + í ï é ù - + = + ë û î x x x y y y y y x y x 3 3 2 2 3 1 3 6 9 2 ln 0 1 1 log 3 log 1 2 . Đ/K 1 0 1 3 3 0 0 0 x y x x y y - ì > ï + ï > ì ï - > Û í í > î ï > ï ï î Từ phương trình ( ) 1 biến đổi ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 1 3 1 ln 1 1 3 1 ln 1 3 x x x y y x - + - + - = + + + + + 0.25 Xét hàm số ( ) 3 2 3 ln f t t t t = + + trên khoảng ( ) 0;+¥ ( ) 2 1 3 6 0 0 f t t t t t ¢ = + + > " > Þ hàm số ( ) f t đồng biến trên khoảng ( ) 0;+¥ Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 1 2 4 f x f y x y y x Û - = + Û - = + Û = - 0.25 Câu 3 (1 điểm) Thế ( ) 4 vào ( ) 2 ta được ( ) ( ) ( ) 2 3 2 log 3 log 2 1 x x x x é ù - - + - = + ë û 0.25 Trang 3/6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 1 1 log 3 log 2 log 3 log 2 0 5 2 2 x x x x x x x x + + Û - + - = Û - + - - = - - Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 2 3 1 log 3 log 2 2 x g x x x x + = - + - - - trên khoảng ( ) 3;+¥ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 0 3 3 ln 2 2 ln 3 2 g x x x x x ¢ = + + > " > - - - Þ hàm số ( ) g x đồng biến trên khoảng ( ) 3;+¥ . Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 5 5 3 g x g x y Û = Û = ¾¾® = Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( ) ; 5;3 x y = 0.25 Tính tích phân : - = - ò e e x I dx x x 8 3 2 2 ln 1 ln - - - = = = - - æ ö - ç ÷ è ø ò ò ò e e e e e e x x x x x I dx dx dx x x x x x x x 8 8 8 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 1 ln 1 ln 1 ln ln ln ln 1 ln ln 0.25 Đặt 2 ln 1 ln ln x x t dt dx x x - = Þ = , đổi cận x 3 e 8 e t 3 3 e 8 8 e 0.25 8 8 3 3 8 8 2 3 3 1 1 1 1 2 1 1 1 e e e e I dt dt t t t æ ö = = - ç ÷ - + - è ø ò ò 0.25 Câu 4 (1 điểm) ( )( ) ( )( ) 8 3 8 3 8 8 3 3 8 3 1 1 1 ln ln 2 1 2 8 3 e e e e t I t e e - + - Û = = + + - 0.25 Cho lăng trụ 1 1 1 ABC.A B C có đáy ABC làtam giác vuông tại A , 2 4 AB , BC = = .Hình chiếu vuông góc của điểm 1 A trên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trung điểm của AC . Góc giữa hai mặt phẳng ( ) 1 1 BCC B và ( ) ABC bằng 0 60 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 AA và BC . Từ gt ta có 2 2 2 3 AC BC AB = - = . Gọi H là trung điểm của ( ) 1 AC A H ABC Þ ^ . Vẽ hình bình hành ABCE , Vẽ HI AE ^ tại I . Do ( ) ( ) 1 1 1 / / A AE BCC B nên ( ) ( ) ( ) · ( ) ( ) ( ) · 1 , , BCCB ABC A AE ABC = , ta có 1 , AE HI AE A H ^ ^ suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) · 0 1 1 1 , 60 AE A HI A AE ABC A HI ^ Þ = = 0.25 Câu 5 (1 điểm) Ta có 1 . 2 3 2 ABC S AB AC D = = , do · · 0 1 30 2 AB BC ACB EAC = Þ = = (so le trong) 0 1 1 1 3 3 , . tan 60 2 4 2 2 HI AH AC A H HI Þ = = = = = . Vậy thể tích khối lăng trụ là 1 1 1 1 3 . 2 3 3 3 2 ABCA B C ABC V A H S D = = × = (đvtt) 0.25 Trang 4/6 Do ( ) 1 / / BC A AE , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 , , , 2 , d BC AA d BC A AE d C A EA d H A EA = = = Vẽ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 3 , , 2 4 HK A I AE A HI HK A AE HK d H A AE A H ^ ^ Þ ^ Þ = = = 0.25 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 AA và BC bằng 3 2 (đvđd) 0.25 Cho , , a b c là các số thực không âm thoả mãn 5 a b c + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 4 4 S a b b c c a = + + Trong 3số , , a b c có 1 số nằm giữa 2 số chẳng hạn là b nên ta có ( )( ) 3 3 0 c b a b c - - £ ( ) 1 0.25 ( ) 1 ( ) 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 b c c a c b ab c S a b b c c a b a c b ac Û + £ + + Û = + + £ + + ( ) ( ) ( ) 2 4 4 4 b a c a c ac b a c £ + + + £ + 0.25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 4 1 1 .4 256 4 4 5 b a c a c a c a c b a c é ù + + + + + + + + = + £ = ê ú ë û ( ) 2 (bđtAMGM 0.25 Câu 6 (1 điểm) dấu bằng xẩy ra ở ( ) 2 4; 1; 0 a b c Û = = = Vậy GTLN của ( ) ; ; 256 F a b c = đạt được khi 4, 1, 0 a b c = = = 0.25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình : 2 1 0 AB x y + - = , phương trình : 3 4 6 0 AC x y + + = và điểm ( ) 1;3 M nằm trên đường thẳng BC thoả mãn 3 2 MB MC = . Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC . { } A AB AC = Ç Þ Toạ độ A là nghiệm hpt ( ) 2 1 0 2 2; 3 3 4 6 0 3 x y x A x y y + - = = ì ì Þ Þ - í í + + = = - î î ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2b 1 , 4 2; 3 1; 2 2 ; 4 3; 3 3 B b AB C c c MB b b MC c c - + Î - - Þ = - - - = - - - uuur uuuur 0.25 Do , , M B C thẳng hàng và 3 2 MB MC = nên có hai trường hợp +TH1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 2 4 3 3 1 2 9 5 3 2 ; , ; 3 5 5 5 5 3 2 2 2 3 3 5 b b c MB MC B C b c c ì = ï ì - = - ï ï æ ö æ ö = Û Û Þ - - í í ç ÷ ç ÷ - - = - - è ø è ø ï ï î = ï î uuur uuuur Khi đó toạ độ trọng tâm 5 1; 3 G æ ö - ç ÷ è ø 0.25 +TH2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 4 3 5 3 2 5;11 , 10; 9 3 3 2 2 2 3 3 b c b MB MC B C c b c ì - = - - = - ì ï = - Û Û Þ - - í í = - - = - - - î ï î uuur uuuur Khi đó toạ độ trọng tâm 7 1 ; 3 3 G æ ö - ç ÷ è ø 0.25 Câu 7a. (1 điểm) Vậy toạ độ trọng tâm 5 1; 3 G æ ö - ç ÷ è ø hoặc 7 1 ; 3 3 G æ ö - ç ÷ è ø . 0.25 Câu 8a. (1 điểm) Trong không gian với hệ toạ độOxyz ,cho hình thoi ABCD với ( ) 1;2;1 A - , ( ) 2;3;2 B .Tìm toạ độ các đỉnh , C D biết tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng 1 2 : 1 1 1 x y z d + - = = - - Trang 5/6 Gọi ( ) 1 ; ;2 . I t t t d - - - + Î Ta có ( ) ( ) ; 2; 1 , 3 ; 3 ; IA t t t IB t t t = + - - = + + - uur uur 0.25 Do ABCD là hình thoi nên 2 . 0 3 9 6 0 1 , 2 IA IB t t t t = Û + + = Û = - = - uur uur 0.25 Do C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên 0.25 · ( ) ( ) ( ) 1 0;1;1 1;0;1 , 2; 1 ;0 t I C D = - Þ Þ - - · ( ) ( ) ( ) 2 1;2;0 3;2 ; 1 , 0;1 ; 2 t I C D = - Þ Þ - - 0.25 Cho số phức z thoả mãn ( ) 2 2 1 1 z z i iz + = - + - . Tính mô đun của 4 1 z z + + . Đặt ( ) , , z a bi a b = + Î ¡ . Từ gt suy ra ( ) ( ) 2 2 1 1 1 a bi a b i b ai + - = - + + - - + Û ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 a b a bi b a b i b a b ì + = + ï + - = + - + Û í = + ï î 0.25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 , 1 2 2 1 0 1 1 2 1 2 2 b a b b b b b b b a = - Þ = é ê Û + = + ¹ - Û + + = Û ê + = - Þ = - ë 1 2 z i = - hoặc 1 1 2 2 z i = - - 0.25 · 4 4 1 2 1 2 1 2 1 2 5 1 2 2 z i z i i i i z i = - Þ + = - + = - + + = - = + - 0.25 Câu 9a. (1 điểm) · 1 1 4 1 1 8 7 7 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 z i z i i z i = - - Þ + = - - + = + = + - 0.25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22 , đường thẳng AB có phương trình 3 4 1 0 x y + + = , đường thẳng BD có phương trình 2 3 0 x y - - = . Tìm toạ độ các đỉnh , , , . A B C D . Điểm B là giao giữa AB và BD ( ) 1; 1 B Þ - . 22 (1) ABCD S AB AD = = X . Đường thẳng AB có vtpt ( ) 1 3;4 n = r , AC có vtpt ( ) 2 2; 1 n = - r · ( ) · 1 2 1 2 1 2 . 2 11 cos cos ; tan (2) 2 5 5 n n AD ABD n n ABD n n AB = = = Þ = = r r r r r r từ (1),(2) 11 , 2 AD AB Þ = = (3) 0.25 ( ) ( ) ( ) 11 11 ;2 3 , ; (4) 5 a D BB D a a AD d D AB - Î Þ - = = . Từ (3) & (4) suy ra 11 11 55 6 , 4 a a a - = Û = = - 0.25 · ( ) 6 6;9 a D = Þ . Do 3 1 7 : 4 3 3 0 ; , ;4 5 5 2 AD AB AD x y A I æ ö æ ö ^ Þ - + = Þ - ç ÷ ç ÷ è ø è ø trung điểm của BD . C đối xứng A qua 38 39 ; 5 5 I C æ ö Þ ç ÷ è ø 0.25 Câu 7b. (1 điểm) · 4 ( 4; 11) a D = - Þ - - tương tự trên ta tính được 13 11 28 49 ; & ; 5 5 5 5 A C æ ö æ ö - - - ç ÷ ç ÷ è ø è ø 0.25 Trong không gian với hệ toạ độOxyz cho tam giá ABC , ( ) ( ) ( ) 0;0;3 , 0;1;0 , 2;0;0 A B C - . Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm là H ( H là trực tâm tam giác ABC ), tiếp xúc với trục Ox . Câu 8b. (1 điểm) Ta có , , OA OB OB OC OC OA ^ ^ ^ ( ) OA OBC OA BC ^ Þ ^ mặt khác ( ) AH BC BC OAH BC OH ^ Þ ^ Þ ^ Tương tự CA OH ^ từ đó ( ) OH ABC ^ 0.25 Trang 6/6 Mặt phẳng ( ) ( ) : 1 : 3x 6 y 2 z 6 0 2 1 3 x y z ABC ABC + + = Û - - + = - đường thẳng ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0;0;0 6 3; 6; 2 2 ABC x t Qua O OH y t vtcp u vtpt n z t = ì ì ï ï Û = - í í = = - - ï ï î = - î r r 0.25 Toạ độ H là nghiệm hpt 2 13 3 6 6 6 12 4 13 ; ; 2 12 13 13 13 13 3 6 2 6 0 4 13 t x t x y t H z t y x y z z ì = - ï ï = ì ï = - ï = - ï ï æ ö Û Û - í í ç ÷ = - è ø ï ï = ï ï - - + = î ï ï = î 0.25 Hình chiếu của H trên trục Ox là 2 2 1 1 6 12 4 160 ;0;0 13 13 13 13 H HH æ ö æ ö æ ö - Þ = + = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø Mặt cầu cần tìm có tâm 6 12 4 ; ; 13 13 13 H æ ö - ç ÷ è ø , bán kính 160 13 R = có phương trình 2 2 2 6 12 4 160 13 13 13 169 x x x æ ö æ ö æ ö + + - + - = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø 0.25 Cho các số phức 1 2 cos . , cos . z i sin z i sin a a b b = + = + thoả mãn 1 2 4 3 5 5 z z i + = + . Tính ( ) tan a b + 1 2 1 2 1 z z z z = = + = 0.25 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 z z z z z z z z z z z z z z z z z z + æ ö = + = + + = + + = + + = ç ÷ è ø 0.25 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 4 3 cos . 5 5 z z z z i sin i a b a b æ ö = + Û + + + = + ç ÷ è ø ( ) ( ) ( ) ( ) 7 cos 7 24 25 cos . 24 25 25 sin 25 i sin i a b a b a b a b ì + = ï ï Û + + + = + Þ í ï + = ï î 0.25 Câu 9b. (1 điểm) ( ) ( ) ( ) sin 24 tan cos 7 a b a b a b + + = = + 0.25 Hết
Tài liệu đính kèm: