Giải phương trình vô tỉ bằng đạo hàm

1.2. Các dạng bài tập 
 Dạng1: (a>0, x là ẩn) 
Với hàm đặc trưng 
 Dạng2: 
Với hàm đặc trưng 
2. Bài tập. Bài tập về ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình.
Bài 1. Giải phương trình sau: Lời giải:
+)Đ\k :x<2+) Xét hàm số trên 
+) Ta có 
Suy ra f(x) đồng biến trên khoảng Dùng máy tính kiểm tra được là nghiệm .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Bài 2. Giải phương trình sau: (ĐHQG HN-07)
Lời giải: +) Đ/K: 
+)Ta thấy là một nghiệm .+) Xét hàm số 
+) Ta có f(x) đồng biến trên .Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 3. Giải phương trình sau: 
Lời giải: Ta có 
+) Đ/K: +) Ta có 
+)Đặt .Phương trình trở thành :
+) Với thì vô nghiệm 
+) Vời , bình phương hai vế ta có 
+) Ta thấy t=1 là một nghiệm của phương trình
+) Xét hàm số 
+)nghịch biến trên 
+) Xét hàm 
+) đồng biến trên 
+) Vậy t=1 là nghiệm duy nhất .Với t=1 hai nghiệm x=0; x=2
Bài 4. Giải phương trình: 
Lời giải: +)Ta có 
+) Xét hàm số Ta có đồng biến.
+) Khi đó 
Vậy phương trình có ba nghiệm x=1; 
Bài 5. Giải phương trình: 
Lời giải: Đ/K: 
+) Ta có Pt:
+) Xét hàm trên +) đồng biến trên +) Khi đó phương trình 
Vậy phương trình có hai nghiệm 
Bài 6. Giải phương trình: (Olimpic30/04/2011)
 +) Ta cần phân tích pt về dạng: , với hàm cần xét có dạng .
Với f(t) đồng biến.
Do đó 
Bài 7. Giải phương trình : (Olympic30/04/09).
Lời giải:
Ta đưa phương trình về dạng 
Đồng nhất các hệ số ta tìm được 
Khi đó pt: 
Vời đồng biến.
Ta có 
Vậy phương trình có nghiệm 
Bài 8.Giải phương trình: 
Lời giải: Ta cần đưa phương trình về dạng 
Đồng nhất hệ số ta tìm được Phương trình
Với đồng biến
Ta có 
Vậy phương trình có nghiệm 
Bài 9. Giải phương trình (HSG Hải Phòng 2010)
Lời giải : Ta có 
Xét hàm số đồng biến.
Vậy phương trình có nghiệm x=0.
Bài10. Giải phương trình (HSG Quảng Bình 2012)
Đ/K:Tacó: 
Xét hàm số đồng biến
Phương trình:.
Vậy phương trình có hai nghiệm x=0, x=1
Bài11:Giải phương trình: ( Chuyên Lê Quý Đôn- Bà Rịa vũng Tàu)
Lời giải :+) ĐKXĐ:a có: 
Xét hàm số đồng biến
Ta có 
+) Xét .Đặt =cost, , phương trình trở thành 
Mà suy ra 
Do phương trình là bậc ba nên có không quá ba nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm 
Bài 12.Giải phương trình : 
+) Ta thấy phương trình chỉ có nghiệm trong khoảng Ta có
Với .
 Xét hàm số đồng biến trên Ta có 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Bài 13. Giải phương trình (HSG Nghệ An2012)
Lời giải:+) ĐKXĐ: 
+) Phương trình đã cho tương đương với 
+)Xét hàm số ; 
Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên 
Khi đó: 
Bài 14. Giải phương trình sau: (HSG Thái Bình 2011)
Lời giải: +) ĐKXĐ:
+) Xét hàm số đồng biến trên 
 Vậy phương trình có nghiệm 
Bài 15: Giải phương trình sau: Lời giải: +) ĐKXĐ: 
+) Phương trình 
+) Xét hàm số đồng biến .+) Phương trình
+) Xét hàm phương trình g(x)=0 có nhiều nhất là hai nghiệm, mà g(0)=g(1)=0.
Vậy phương trình có hai nghiệm x=0, x=2.
Bài16. Giải phương trình : ( HSG Hải Dương )
Lời giải: +) ĐKXĐ : +) Ta có :
+) Xét hàm số 
 nghịch biến.
 +) Phương trình 
Vậy phương trình có nghiệm .
2.2. Bài tập ứng dụng tính đơn điệu vào giải hệ phương trình 
Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng với f là hàm đơn điệu trên tập D và x,y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu
Một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên đó hàm f đơn điệu
Bài1 Giải hệ phương trình 
Giải . 	Từ PT (2) ta có 
	Xét hàm số có do đó f(t) nghịch biến trên 
khoảng (-1;1) hay PT (1) thay vào PT (2) ta được PT : 
Đặt a=x4 ≥0 và giải phương trình ta được 
Bài2. Giải hệ :
Lời giải :
 Từ pt(1) ta xét hàm hs đồng biến
Khi đó 
Thay vào(2) :hệ có nghiệm 
Bài3. Giải hệ : (x, y Î R). (Đề thi ĐH 2010-KA)
Lời giải ĐK : . 
Pt (1)
Xét hàm : đồng biến
Pt 
Nghĩa là : 
Pt (2) trở thành 
Xét hàm số trên 	 < 0
Mặt khác : nên (*) có nghiệm duy nhất x = và y = 2.. x = và y = 2
Bài 4. (Đề thi thử Hà Tĩnh 2013) Giải hệ phương trình: (I)
Hướng dẫn cách giải:Biển đổi phương trình (1) về dạng 3x + x = 3y + y (3)
Thiết lập hàm số: f(t) = 3t + tChứng minh f(t) là hàm đồng biến, (3) f(x) = f(y) x = y
Cách giải: (I) 
Xét hàm số: f(t) = 3t + t Þ f’(t) = 3tln3 + 1 >0 t
Þ f(t) là hàm đồng biến, (3) f(x) = f(y) x = y
Nên (I) x = y = ± 2Vậy hệ có hai nghiệm: (2;2) ; (-2; 2)
Bài 5.(Tạp chí toán học tuổi trẻ tháng 5- 2012)Giải hệ (I)
Hướng dẫn cách giải:
Nhận dạng: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 nên có 1 nghiệm x = y
Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng
Thiết lập hàm số: f(t)= , t [-;4]
Cách giải: Điều kiện -
Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng (3)
Xét hàm số: f(t)= , t [-;4]Þ f’(t) = t (-;4)
Þ f(t) đồng biến trên (-;4) (3) 
Suy ra: (pt vô tỉ dạng cơ bản)
Giải pt được 2 nghiệm : x=3, x= (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ có 2 nghiệm (3; 3), 
Bài 6.G hệ phương trình: 	(1)
+) Với thì , Hệ phương trình chỉ có nghiệm với y.
+) Vì nên từ phương trình (2) của hệ suy ra .
 (3)
Thay vào phương trình (3) ta được: 
 	(2)
+) Xét hàm số: với với mọi 
 là hàm đồng biến trên . Mà 
+) Thay vào phương trình (2) của hệ ta có : .
Thử lại thấy thỏa mãn hệ phương trình đã cho. 
Kết luận : Hệ phương trình đã có nghiệm duy nhất 
Bài 7: (ĐH 2012)Giải hệ phương trình (x, y Î R).
Lời giải :Pt 
Pt 
Xét hàm số suy ra hàm số nghịch biến , pt 
Thay vào (2): Vậy hệ có nghiệm 
 3.Bài tập tự luyện:
Bài1: Giải các phương trình sau:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10.
11. 
12. 
13. (HSG Lâm Đồng)
14. (HSG Ninh Bình)
15. 
16. (HSGQuảng Nam)
Bài2. Giải các hệ phương trình:
1)2)
3)4)
5)(HSG 2013)
6)
 7) ( HSG HD 2012)
 8)(i Dương 13-14)
 9) KA 13