Kỳ thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán - Lớp 9 thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD&ĐT SẦM SƠN
Số báo danh
........................
TRƯỜNG THCS NGUYỄN HỒNG LỄ
KỲ THI KSCL HỌC SINH GIỎI 
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức: 
Rút gọn biểu thức .
Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.d 
Câu II (4,0 điểm).
1.Giải phương trình: 
2. Giải hệ phương trình: 
Câu III (4,0 điểm).
1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện
2. Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho là số nguyên dương. 
Câu IV (6,0 điểm) : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đường thẳng BC, CA và AB.
1. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
2. Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất.
3. Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA và AB. Kẻ EQ vuông góc với GF. Chứng minh rằng QE là phân giác của góc BQC.
Câu V (2,0 điểm) : ) Cho các số không âm thỏa mãn: x + y + z 3
 Tìm giá trị lớn nhất của 
----- HẾT -----
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Câu
Ý
Lời giải (vắn tắt)
Điểm
I
(4,0đ)
1
(2,5đ)
Ta có: , nên điều kiện để A có nghĩa là 
0, 5
. 
0,50
0,50
. . 
0,5
 ()
0,5
2
(1,5đ)
0,50
Với là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì
 (vì và ). 
Khi đó: 
1,0
II
(4,0đ)
1
(2,0đ)
(do )
0,50
. 
 ( vì >0; >0)
0,50
0,50
 (đặt ) (do )
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: 
0,50
2
(2,0đ)
0,75
Xét TH :
0,50
Xét TH :
0,50
 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (1; 1); 
0,25
III
(4,0đ)
1
(2,0đ)
+ Từ giả thiết suy ra: . Không giảm tính tổng quát giả sử . Suy ra 
Do đó 
0,50
+ Với suy ra 
Do đó 
0,50
+ Với từ (1) suy ra 
+ Với từ (1) suy ra ( do a>b)
0,50
+ Với từ giả thiết suy ra ( do b>c)
Thay vào (*) được .
Vậy có 8 bộ ba (a;b;c) thoả mãn: và các hoán vị của nó.
0,50
2
(2,0đ)
) Đặt = a Với a là số nguyên dương thì x4 + 2 = a(x2y + 1) 
Û x2(x2- ay) = a - 2 (1)
0,25
Xét 3 trường hợp sau : TH1: Nếu a = 1 thì từ (1) ta có : x2(x2- y) = - 1
Þ Û 
0,50
TH2: Nếu a=2 thì từ (1) có x2(x2- 2y)=0, suy ra x2 =2y nên có x= 2k, y=2k2 với k là số nguyên dương
TH3: Nếu a > 2 thì từ (1), có a – 2 > 0 và (a – 2) chia hết cho x2 nên a – 2 ³ x2 Û a ³ x2 + 2 > x2 
Từ đó Þ 0 < x2- ay < x2- x2y £ 0. Điều này không xảy ra
0,5
Vậy: Cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn đề ra là : (1; 2) và (2k; 2k2) với k là số nguyên dương.
0,25
IV
(6,0đ)
1
(2.5 đ)
Từ giả thiết có Tứ giác IPAN nội tiếp
 (cùng chắn cung IN)
0,50
Lại do Bốn điểm I , P , M , B nằm trên đường tròn đường kính BI
0,50
Vì 
Từ (2) và (3) 
1, 0
Từ (4) và (1) 
Vậy M , P , N thẳng hàng .
0,50
2
(2,0đ)
Theo chứng minh trên ta có 
 (góc nội tiếp cùng chắn cung IP của đường tròn qua 4 điểm I , B , M , P)
0,50
 (góc nội tiếp cùng chắn cung IP của đường tròpn qua 4 điểm I , N , A , P)
0,50
Từ (5) và (6) 
0,50
Dấu "=" xảy ra là đường kính của .Vậy MN nhỏ nhất bằng AB I đối xứng với C qua O .
0,50
3
(1.5 đ)
Gọi B' , C' lần lượt là hình chiếu của B và C trên GF . 
Chứng minh được , suy ra 
0,50
. Lại có 
Từ (8) và (9) suy ra (10)
0,50
Từ (7) và (10) 
Vậy QE là phân giác của góc BQC .
0,50
V(1đ)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky, ta được:
Tương tự: 
0,50
Bởi vậy 
0,50
 A 6 + ( 3 - ) 6+( 3 - )3= 9 + 3 
 (Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky và giả thiết x + y + z 3 )
 Vậy giá trị lớn nhất của A là : 9 + 3, khi x = y = z = 1.
0,50
Chú ý: 
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.