Kỳ thi học sinh giỏi thpt năm học 2013 – 2014 môn: Toán 11 (dành cho học sinh thpt chuyên) thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ THI HSG THPT NĂM HỌC 2013 – 2014
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Môn: TOÁN 11 (Dành cho học sinh THPT Chuyên)
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 
Câu 1. Cho dãy số xác định bởi 
Chứng minh rằng với mọi a dãy số đã cho hội tụ và tìm theo a.
Câu 2. Cho trước các số nguyên dương Chứng minh rằng phương trình
có vô số nghiệm nguyên dương.
Câu 3. Cho hai đường tròn có bán kính không bằng nhau, nằm bên trong đường tròn (O) và cùng tiếp xúc trong với (O) tương ứng tại E, F. Đường thẳng d là một tiếp tuyến chung ngoài của d tiếp xúc với theo thứ tự tại A, B và cắt đường tròn (O) tại hai điểm C, D phân biệt. Một đường tròn thay đổi, đi qua A, B, cắt lại tương ứng tại M, N.
Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Các đường thẳng cắt nhau tại X, các đường thẳng cắt nhau tại cắt nhau tại Y. Chứng minh rằng các điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh rằng khi thay đổi nhưng luôn đi qua A, B thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 4. Xét các số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Câu 5. Một số điện thoại di động là một dãy số gồm 10 chữ số được chọn từ nhưng chữ số đầu tiên phải là 0. Mr. Fat có số điện thoại 0912364587 là một dãy số gồm 10 chữ số có tính chất 9 chữ số sau (không kể chữ số 0 đầu tiên) là phân biệt, khác 0; đồng thời các chữ số từ 1 đến 5 xuất hiện trong dãy từ trái qua phải theo đúng thứ tự tự nhiên của chúng, còn các chữ số từ 1 đến 6 thì không. Mrs. Fat cũng muốn chọn được một số điện thoại có cùng tính chất như vậy. Hỏi bà ta có bao nhiêu cách chọn (sự lựa chọn)? 
HẾT
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....Số báo danh