Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 vòng huyện năm học: 2014 - 2015 đề thi môn: Toán 9 thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC: 2014-2015
Đề thi môn: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
________________________
Câu 1: (5điểm)
a. (2điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: 
b. (3điểm) Phân tích đa thức x3(x2 – 7)2 – 36x thành nhân tử. Từ đó suy ra nghiệm của phương trình x3(x2 – 7)2 – 36x = 0.
Câu 2: (5điểm) 
a. (3điểm) Tìm số tự nhiên n sao cho là một số chính phương.
b. (2điểm) Tính giá trị: A = 
Câu 3: (5điểm) 
a. (3điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 
b. (2điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương , , thoả mãn 
Câu 4: (5điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy điểm P thuộc đường chéo BD. Gọi M là điểm đối xứng với C qua P, gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và AB.
a. Chứng minh và 3 điểm E, F, P thẳng hàng.
b. Chứng minh tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P.
c. Cho và Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.
HẾT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC: 2014-2015
Hướng dẫn chấm môn: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
___________________ 
Câu 1: (5điểm) 
a. (2điểm) 
(2x + y + 1)(x + y + 1) = -1 = (-1). 1 = 1.(-1) 	(0.5điểm)
Xét 2 trường hợp ta có: và 	(0.5điểm)
Giải ra ta được 2 cặp số: (-2 ; 2); (2 ; - 4) 	(0.5điểm)
Vậy phương trình có nghiệm là: (x, y) = (-2; 2); (2; - 4) 	(0.5điểm)
b. (3điểm)
x3(x2 – 7)2 – 36x = x[x2(x2 – 7)2 – 36] 	(0,25điểm)
= x[x(x2 – 7) – 6][x(x2 – 7) + 6] 	(0,25điểm)
= x(x3 – 7x – 6)(x3 – 7x + 6) 	(0,25điểm)
= x(x3 – x – 6x – 6)(x3 – x – 6x + 6) 	(0,25điểm)
= x[x(x2 – 1) – 6(x + 1)][x(x2 – 1) – 6(x – 1)] 	(0,25điểm)
= x(x + 1)[x(x – 1) – 6](x – 1)[x(x + 1) – 6] 	(0,25điểm)
= x(x + 1)(x2 – x – 6)(x – 1)(x2 + x – 6) 	(0,25điểm)
= x(x + 1)(x2 + 2x – 3x – 6)(x – 1)(x2 – 2x + 3x – 6) 	(0,25điểm)
= x(x + 1)[x(x + 2) – 3(x + 2)](x – 1)[x(x – 2) + 3(x – 2)] 	(0,25điểm)
= x(x + 1)(x + 2)(x – 3)(x – 1)(x – 2)(x + 3) 	(0,25điểm)
 Từ đó ta được các nghiệm của phương trình x3(x2 – 7)2 – 36x = 0 
là hoặc hoặc hoặc 	(0,5điểm)
Câu 2: (5điểm) 
a. (3điểm) 
Để là một số chính phương 
 	(0,25điểm)
	(0,25điểm)
	(0,25điểm)
	(0,25điểm)
Vì: 	(0,5điểm)
Ta có 4 trường hợp sau:
+/ 	(Nhận)	(0,25điểm)
+/ 	(Loại)	(0,25điểm)
+/ 	(Nhận)	(0,25điểm)
+/ 	(Loại)	(0,25điểm)
Vậy khi n = 19 hoặc n=55 thì là một số chính phương.	(0,5điểm)
b. (2điểm) 
A = 
= 
(0,25điểm)
= - 
(0,5điểm)
= - 
(0,5điểm)
= 
(0,25điểm)
= 
(0,25điểm)
= = 2. Vậy A = 2
(0,25điểm)
Câu 3: (5điểm) 
a. (3điểm) 
A = 	(1điểm)
= 	(1điểm)
= 	(0,5điểm)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi 	(0,5điểm)
b. (2điểm) 
100 = 8x + 9y + 10z > 8x + 8y + 8z = 8(x + y + z) 	(0,5điểm)
x + y + z > 11, do ( x + y + z ) nguyên nên x + y + z =12.	(0,5điểm)
Vậy ta có hệ 
Từ y + 2z = 4 suy ra z = 1 (do y, z > 0) 	(0,5điểm)
Khi z = 1 thì y = 2 và x = 9.
Thay x = 9; y = 2; z = 1 thấy thoả mãn yêu cầu bài toán 	(0,5điểm)
Câu 4: (5điểm) 
Vẽ hình đúng 
(0,25điểm)
a. Kẻ qua A đường thẳng song song với CM cắt DB tai Q. Hai tam giác ADQ và CBP bằng nhau (g-c-g) suy ra 
(0,25điểm)
Tứ giác AQPM có cặp cạnh đối AQ và CP song song và bằng nhau nên là hình bình hành, suy ra .
(0,25điểm)
Vì Þ 
(0,25điểm)
 mà 
(0,25điểm)
nên Þ 
(0,25điểm)
MA cắt EF tai O, xét ∆CAM có PO là đường trung bình nên 
(0,25điểm)
Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơclit ta có hai đường thẳng OP, EF trùng nhau nên 3 điểm E, F, P thẳng hàng.
(0,25điểm)
b. Hai tam giác vuông MAF và DBA có hai góc nhọn tương ứng và bằng nhau nên đồng dạng, 
(0,5điểm)
Suy ra không đổi
(0,5điểm)
c. Từ giả thiết suy ra 
(0,25điểm)
Þ 
(0,25điểm)
Từ giả thiêt suy ra CP là đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông BCD, nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
(0,25điểm)
Û Û 
(0,25điểm)
 Từ (3) và (4) Þ và 
(0,25điểm)
Nên .
(0,25điểm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BCD ta có:
(0,25điểm)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BAD ta có:
 Þ 
(0,25điểm)