Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh thcs năm học 2014 - 2015 môn: Toán thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
 AN GIANG 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS 
Năm học 2014-2015 
Môn: TOÁN 
SBD 
PHÒNG 
Thời gian làm bài : 150 phút 
(không kể thời gian phát đề) 
Bài 1: (3,0 điểm) 
Làm mất căn ở mẫu biểu thức sau 
Bài 2: (3,0 điểm) 
Giải hệ phương trình 
Bài 3: (3,0 điểm) (Pha màu sơn quét tường) 
 Một người mua 60 kg sơn quét tường màu xám ở một cửa hiệu pha màu, trong 
kho của cửa hiệu không có sơn màu xám nên chủ cửa hiệu pha hai loại sơn màu: sơn màu 
đen và sơn màu trắng để được sơn màu xám như người mua cần. Biết thành phần của 
mỗi loại sơn màu như sau: 
Sơn màu đen = 20% bột màu đen + 80% chất phụ gia; 
Sơn màu trắng= 30% bột màu trắng + 70% chất phụ gia; 
Sơn màu xám =5% bột màu đen +15% bột màu trắng+80% chất phụ gia. 
(các thành phần tính theo đơn vị kg) 
 Hỏi người chủ cửa hiệu cần pha bao nhiêu kg sơn màu đen, sơn màu trắng và chất phụ 
gia để đáp ứng theo yêu cầu người mua. 
Bài 4: (4,0 điểm) 
a. Cho hai số . Chứng minh rằng 
b. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Bài 5: (2,0 điểm) 
Một thanh sắt dài 7m, người ta muốn cưa thanh sắt đó thành các thanh nhỏ dài 
7dm và 5dm. Hỏi mỗi thứ được bao nhiêu thanh. Biết rằng khi cưa xong không dư phần 
nào cả. 
Bài 6: (5,0 điểm) 
 Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). Gọi D là một điểm trên 
cung nhỏ BC. Gọi I; K; H lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BC, AB, 
AC. 
a. Chứng minh rằng hai tam giác DKB và DHC đồng dạng; 
b. Chứng minh ba điểm I; K; H thẳng hàng; 
c. Chứng minh rằng: 
-----Hết------ 
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
AN GIANG Năm học 2014 – 2015 
 MÔN TOÁN 
A.ĐÁP ÁN 
Bài ĐÁP ÁN Điểm 
Bài 1 
 3,0 
điểm 
Bài 2 
Đặt điều kiện 
3,0 
điểm 
Khi đó ta được hệ 
Cộng hai phương trình của hệ ta được 
Thay vào ta có 
Vậy hệ có nghiệm 
Bài 3 
Vì người mua cần 60 kg sơn màu xám theo đề bài tỉ lệ pha trộn ta cần 
9 kg bột màu trắng và 3kg bột màu đen và 48 kg chất phụ gia trộn lại 
để được 60kg nước sơn 
3,0 
điểm 
Để có 9kg bột màu trắng ta cần lấy 30kg sơn màu trắng (do màu trắng 
có 30% bột màu) 
Để có 3kg bột màu đen ta cần lấy 15kg sơn màu đen ( do màu đen có 
20% bột màu) 
Khi đó số thành phần đủ tạo màu là 
30kg+15kg=45kg 
Số kg chất phụ gia cần pha thêm là 15kg 
Trả lời: 
Cần trộn như sau để được màu theo yêu cầu người mua 
15kg sơn màu đen 
30kg sơn màu trắng 
15kg chất phụ gia 
Bài 
4a 
Cho hai số . Chứng minh rằng 
Để ý rằng dấu bằng xảy ra khi 
Xét 
2,0 
điểm 
Do 
Vậy 
Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 
4b 
Ta chứng minh 
Với 
2,0 
điểm 
Với 
Với 
Vậy dấu bằng xảy ra khi 
Bài 5 
Gọi x là số thanh sắt nhỏ dài 7dm; y là số thanh sắt nhỏ dài 5dm 
ĐK 
Khi đó ta có phương trình 
2,0 
điểm 
Dễ thấy phương trình có nghiệm 
Đặt ta được 
Phương trình (*) có nghiệm 
Lần lượt cho ta được 
 0 1 2 
 10 5 0 
 0 7 14 
Vậy số thanh sắt có thể đạt được là (10;0) ; (5;7) ; (0;14) 
Bài 
6a 
Tam giác DKB và DHC là hai tam giác vuông tại K và H. Ký hiệu các 
góc như hình vẽ. 
 (cùng chắn cung 120o) 
(góc có cạnh tương ứng vuông góc) 
(do tứ giác BKDI có hai góc vuông) 
2,0 
điểm 
Vậy hai tam giác KDB và DHC 
đồng dạng 
Bài 
6b 
Chứng minh IKH thẳng hàng 
 chứng minh trên 
Mà (BKDI nằm trên đường tròn đường kính BD) 2,0 
điểm 
 (DIHC nằm trên đường tròn đường kính CD) 
Vậy 
Hay ba điểm KIH thẳng hàng 
Bài 
6c 
 Ta có nhận xét 
Trên BC lấy điểm M sao cho hai tam 
giác ABM và KDI đồng dạng 
Ta được 
 Khi đó hai tam giác AMC và HID 
đồng dạng 
Từ (1) và (2) suy ra 
1,0 
điểm 
B. HƯỚNG DẪN CHẤM: 
+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. 
+ Điểm từng phần có thể chia nhỏ đến 0,25 và phải được thống nhất trong tổ chấm./. 
I
H
K
C
B
A
D
M
2
1
4
3
5
H
I
K
CB
A
D