Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn: Toán 8 thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
Đề chính thức
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 23/04/2016
Bài 1 (4.0 điểm):
a) Chứng minh rằng: Chữ số tận cùng của hai số tự nhiên n và n5 là như nhau.
b) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn: x2 + x – p = 0; với p là số nguyên tố. 
Bài 2 (3.0 điểm):
a) Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức:
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 
Bài 3 (3.0 điểm):
Cho biểu thức: 
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tính giá trị của P khi x thỏa mãn: x3 – x2 + 2 = 0
Bài 4 (4.0 điểm):	
a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 
 10x2 + 50y2 + 42xy + 14x – 6y + 57 < 0
Bài 5 (4.0 điểm): 
Cho M là một điểm bất kỳ nằm trong hình vuông ABCD có cạnh bằng 1.
a) Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 2.
b) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC, kẽ MN AB tại N, gọi O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng: CN2 = 2.OB2.
Bài 6 (2.0 điểm): 
Cho tam giác ABC có . Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho . Đường phân giác của góc cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng: CF | | AE.
Họ tên thí sinh:..SBD:
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8
KỲ THI HSG CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2015 - 2016
Bài
Nội dung
Điểm
1
(4đ)
a
(2đ)
+) Với n = 0; n = 1, rõ ràng n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau.
0,25đ
+) Với n 2. Ta xét hiệu: 
0,75đ
Ta có: Trong k số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại số chia hết cho k Do đó: 
0,5đ
Suy ra: có chữ số tận cùng là 0
 Chữ số tận cùng của hai số n và n5 là như nhau (đpcm)
0,5đ
b
(2đ)
Ta có: x2 + x – p = 0 p = x2 + x p = x(x + 1)
0,5đ
Với , ta có x và (x + 1) là hai số nguyên liên tiếp 
0,5đ
Mặt khác p là số nguyên tố p = 2
0,5đ
 x(x + 1) = 2 (x – 1)(x + 2) = 0 x = 1, hoặc x = – 2
0,5đ
2
(3đ)
a
(1đ)
Từ 
 Tương tự: ; 
0,5đ
 Do đó: 
0,5đ
b
(2đ)
+) Ta có: 
0,5đ
Với mọi x, ta có: 
Đẳng thức A = 2013 xảy ra khi và chỉ khi: x – 1 = 0 x = 1
0,25đ
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: minA = 2013 x = 1
0,25đ
+) Ta có: 
0,5đ
Với mọi x 0, ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x – 2016 = 0 x = 2016
0,25đ
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là: x = 2016
0,25đ
3
(3đ)
a
(0,5đ)
a) Tìm điều kiện đúng: 
0,5đ
b
(1,5đ)
b) Rút gọn đúng:
0,5đ
 =
0,5đ
0,5đ
c
(1,0đ)
c) Lập luận được: 
 (thỏa ĐK)
0,5đ
 Tính đúng giá trị: 
0,5đ
4
(4đ)
a
(2,0đ)
Ta có: 
Tương tự: 
0,5đ
Do đó, suy ra: 
0,5đ
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có: 
 ; 
0,5đ
Do đó, suy ra: 
Từ (1) và (2) ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
0,5đ
b
(2,0đ)
Ta có: < 0
1,0đ
Vì: và nên: 
1,0đ
5
(4đ)
 (H1) (H2)
a
(2,0đ)
ABCD là hình vuông có cạnh bằng 1 
M là điểm bất kỳ nằm trong hình vuông ABCD (H1) 
Chứng minh tương tự: 
Do đó, suy ra: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 1 + 1 = 2 (đpcm)
 Đẳng thức xảy ra M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
2,0đ
b
(2,0đ)
Kẽ MH BC tại H (H2) MH = NB
ANM vuông cân ở N có O là trung điểm của cạnh huyền AM 
 MN2 = 2ON2 (1)
MHC vuông cân ở H MC2 = 2MH2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (3) 
 Hai tam giác ONB và NMC có: 
 (vì cùng bằng 1350) và ( theo (3)) 
 Suy ra ONB NMC (c-g-c) (4)
 Từ (1) và (4) suy ra: NC2 = 2.OB2 (đpcm)
2,0đ
6
(2đ)
Ta có: 
 cân ở C CA = CE (1)
0,5đ
Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF ở K. Ta có:
0,5đ
AE là phân giác của ABH 
0,25đ
CAH và CBA đồng dạng (theo (1)) (4)
0,25đ
Từ (2), (3), (4) hay (đpcm)
0,5đ
	Ghi chú:	- Điểm bài thi được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
	- Mọi cách giải khác (nếu hợp lí và đúng) đều ghi điểm tối đa.