Kì thi thử thpt quốc gia 2015 môn: Toán thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  Kè THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 
PHÚ YấN  MễN:TOÁN 
Ngày thi: 02/4/2015 
Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) 
ưưưưưưưưưưư 
Cõu 1. (2,00 điểm) Cho hàm số  3  3 2 y x x = - -  . 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Gọi A, B là cỏc điểm cực trị của đồ thị hàm số đó cho. Hóy tỡm tọa độ điểm M thuộc 
đồ thị (C) sao cho tam giỏc MAB cõn tại M. 
Cõu 2. (1,00 điểm) Giải phương trỡnh  2 8 log ( 2) 3log (3 5) 2 0 x x - + - - =  trờn tập hợp số thực. 
Cõu 3. (1,00 điểm) Tớnh tớch phõn: 
3 
2 
1 
2 
2 3 2 
I dx 
x x 
= 
+ - ũ  . 
Cõu 4. (1,00 điểm) Một lớp học cú 33 học sinh, trong đú cú 10 học sinh giỏi, 11 học sinh khỏ 
và 12 học sinh trung bỡnh. Chọn ngẫu nhiờn trong lớp học 4 học sinh tham dự trại hố. Tớnh xỏc 
suất để nhúm học sinh được chọn cú đủ học sinh giỏi, học sinh khỏ và học sinh trung bỡnh. 
Cõu 5. (1,00 điểm) Cho tứ diện SABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A, SA vuụng gúc 
với mặt phẳng đỏy. Tớnh thể tớch tứ diện biết đường cao AH của tam giỏc ABC bằng a và gúc 
giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) là 60 0 . 
Cõu 6.  (1,00 điểm) Trong mặt phẳng Oxy  cho  hỡnh  vuụng  ABCD  cú M, N  lần  lượt  là  trung 
điểm  của  cỏc  cạnh  BC,  CD.  Tỡm  tọa  độ  đỉnh  B,  điểm M  biết  N(0;ư2),  đường  thẳng  AM  cú 
phương trỡnh  x +2y – 2 = 0 và cạnh hỡnh vuụng bằng 4. 
Cõu 7. (1,00 điểm) Trong khụng gian Oxyz cho điểm A(ư4;ư2;4) và đường thẳng d : 
3 2 
1 ( ). 
1 4 
x t 
y t t 
z t 
= - + ỡ 
ù = - ẻ ớ 
ù = - + ợ 
Ă 
Viết phương trỡnh đường thẳng D đi qua A, cắt và vuụng gúc với đường thẳng d. 
Cõu 8. (1,00 điểm) Giải hệ phương trỡnh: 
( ) 3 
2 
2 
27 3 9 7 6 9 0 
( , ) 109 
2 3 0 
3 81 
x x y y 
x y x 
y x 
ỡ + + - - = 
ù ẻ ớ 
+ + - - = ù 
ợ 
Ă  . 
Cõu 9. (1,00 điểm) Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức  2 5 5 x y P = +  , biết rằng 
0, 0, 1 x y x y ³ ³ + =  . 
ưưưưưưưưưHếtưưưưưưưưư 
Cảm ơn thầy Dương Bỡnh Luyện( duongbinhluyen@phuyen.edu.vn) 
đó gửi tới www.laisac.page.tl 
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
(Gồm cú 04  trang) 
1.  Hướng dẫn chung 
ư Nếu thớ sinh làm bài khụng theo cỏch nờu trong đỏp ỏn mà vẫn đỳng thỡ cho đủ điểm 
từng phần như hướng dẫn quy định. 
ư Việc chi tiết húa thang điểm (nếu cú) so với thang điểm chấm phải bảo đảm khụng sai 
lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi. 
ư Điểm bài thi khụng làm trũn số. 
2.  Đỏp ỏn và thang điểm 
CÂU  ĐÁP ÁN  ĐIỂM 
1  Cho hàm số  3  3 2 y x x = - -  2,00 đ 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
ư Tập xỏc đinh:Ă . 
ư Sự biến thiờn: 
+ Chiều biến thiờn:  2 2 ' 3 3 3( 1). y x x = - = -  2 
1 
' 0 3( 1) 0 
1 
x 
y x 
x 
= - ộ 
= Û - = Û ờ = ở 
. 
Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ( ) ; 1 -Ơ -  và ( ) 1;+Ơ  ; 
Hàm số nghịch biến trờn khoảng ( ) 1;1 -  . 
+ Cực trị và giới hạn: 
H/s đạt cực đại tại  1; x = -  yCĐ= ( ) 1 0 y - =  . 
H/s đạt cực tiểu tại  1; x =  yCT= ( ) 1 4 y = -  . 
Cỏc giới hạn:  lim ; lim 
x x 
y y 
đ-Ơ đ+Ơ 
= -Ơ = +Ơ . 
+ Bảng biến thiờn: 
x -Ơ  ư1           1            +Ơ 
y’  +      0  ư  0  + 
y 
0                          +Ơ 
ưƠ  ư4 
ư Đồ thị đi qua cỏc điểm (2;0), (0;ư2):như hỡnh vẽ. 
1,00 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
b) Tỡm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho DMAB cõn tại M. 
M(x;y) cần tỡm là giao điểm của đường trung trực của đoạn AB và đồ thị (C). 
Ta cú cỏc điểm cực trị là A(ư1;0), B(1;ư4), trung điểm của đoạn AB  là I(0;ư2). 
Đường trung trực đoạn AB nhận  (2; 4) AB = - 
uuur 
làm vtcp cú p/t  2 4 0 x y - - =  . 
Hoành độ giao điểm của M  là nghiệm của phương trỡnh:  3 
4 
3 2 
2 
x 
x x 
- 
- - =  . 
Giải ra ta được 
7 
2 
x = ±  và  0 x =  (loại). 
Với 
7 14 8 
2 4 
x y 
- 
= ị =  , ta cú điểm  1 
7 14 8 
;
2 4 
M 
ổ ử - 
ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ 
; 
Với 
7 14 8 
2 4 
x y 
- - 
= - ị =  , ta cú điểm  2 
7 14 8 
; 
2 4 
M 
ổ ử - - 
- ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ 
. 
1,00 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
f(x)=x^3ư3x ư2 
ư9  ư8  ư7  ư6  ư5  ư4  ư3  ư2  ư1  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
ư8 
ư6 
ư4 
ư2 
2 
4 
6 
8 
x 
f(x)
2  Giải phương trỡnh  2 8 log ( 2) 3log (3 5) 2 0 x x - + - - =  1,00 đ 
Điều kiện 
2 0 
2 
3 5 0 
x 
x 
x 
- > ỡ 
Û > ớ - > ợ 
. 
Phương trỡnh tương đương:  2 2 log ( 2) log (3 5) 2 x x - + - = 
[ ]  2 2 log ( 2)(3 5) 2 3 11 6 0 x x x x Û - - = Û - + =  . 
Giải pt trờn và đối chiếu điều kiện  ta tỡm được nghiệm pt đó cho là  3 x =  . 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
3  Tớnh tớch phõn 
3 
2 
1 
2 
2 3 2 
I dx 
x x 
= 
+ - ũ  1,00 đ 
Ta cú: 
3 
1 
2 
(2 1)( 2) 
I dx 
x x 
= 
- + ũ 
3 3 
1 1 
2 2 1 
5 2 1 2 
dx dx 
x x 
ổ ử 
= - ỗ ữ - + ố ứ 
ũ ũ 
3 3 
1 1 
2 (2 1) ( 2) 
5 2 1 2 
d x d x 
x x 
ổ ử - + 
= - ỗ ữ - + ố ứ 
ũ ũ 
( ) 3 3 1 1 2 2 ln | 2 1| ln | 2 | ln 3 5 5 x x = - - + =  . 
0,50 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
4  1,00 đ 
Gọi A là biến cố: “4 HS được chọn cú đủ HS giỏi, HS khỏ và HS trung bỡnh”. 
Số phần tử khụng gian mẫu:  4 33 C W =  =40920. 
Ta cú cỏc trường hợp được chọn sau: 
(1) Cú 2 HS giỏi, 1 HS khỏ và 1 HS trung bỡnh. Số cỏch chọn là:  2 1 1 10 11 12 . . 5940 C C C = 
(2) Cú 1 HS giỏi, 2 HS khỏ và 1 HS trung bỡnh. Số cỏch chọn là:  1 2 1 10 11 12 . . 6600 C C C = 
(3) Cú 1 HS giỏi, 1 HS khỏ và 2 HS trung bỡnh. Số cỏch chọn là:  1 1 2 10 11 12 . . 7260 C C C =  . 
Ta được  A W  = 5940 + 6600 + 7260 = 19800. 
Do đú 
15 
( ) 
31 
A P A 
W 
= = 
W 
. 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
5  1,00 đ 
DABC vuụng cõn tại A nờn BC = 2AH = 2a. 
Từ đú  2 
1 1 
. .2 
2 2 ABC 
S AH BC a a a = = =  (đvdt). 
Vỡ SA^(ABC) và AH ^ BC suy ra SH^ BC 
Do đú ((SBC),(ABC))= ã  0 60 SHA = 
Suy ra  0 tan 60 3 SA AH a = =  . 
Vậy 
3 
2 1 1 3 . 3. 
3 3 3 SABC ABC 
a 
V SA S a a = = =  (đvtt). 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
6  1,00 đ 
Gọi I =AM ầ BN. DBIM đồng dạng DABM 
suy ra AM^BN nờn  BN: 2x ư y +c = 0. 
N(0;ư2)  2 c ị = - ị BN: 2x ư y ư2 = 0. 
Tọa độ điểm I là nghiệm hệ pt: 
0,25 đ 
O  1 ư2  2   M 
2 A  B 
ư1 
1 
ư1 
I 
y 
x 
B 
C A 
H 
S
6 
2 2 0  6 2 5  ; 
2 2 0 2  5 5 
5 
x x y 
I 
x y 
y 
ộ = ờ + - = ỡ ổ ử Û ị ờ ớ ỗ ữ - - = ố ứ ợ ờ = ờ ở 
. 
Từ DABM vuụng : 
2 2 
. 4 
5 
AB BM 
BI 
AB BM 
= = 
+ 
. 
Tọa độ điểm B(x;y) thỏa món  2 2 
2 2 0 
4  6 2 16 
5  5 5 5 
x y B BN 
BI  x y 
- - = ỡ ẻ ỡ 
ù ù ị ớ ớổ ử ổ ử = - + - = ỗ ữ ỗ ữ ù ù ợ ố ứ ố ứ ợ 
. 
Giải hệ ta được 
2 
2 
x 
y 
= ỡ 
ớ = ợ 
và 
2 
5 
6 
5 
x 
y 
ỡ = ù ù 
ớ - ù = 
ù ợ 
, suy ra  (2;2) B  ( loại 
2 6 
;
5 5 
- ổ ử 
ỗ ữ 
ố ứ 
). 
Tọa độ điểm M(x;y) thỏa  2 2 
2 2 
2 2 0 
6 2 4 
5 5 5 
x y 
M AM 
x y IM BM BI 
+ - = ỡ ẻ ỡ ù ù ị ớ ớổ ử ổ ử - + - = = - ù ỗ ữ ỗ ữ ù ợ ố ứ ố ứ ợ 
. 
Giải hệ ta được 
2 
0 
x 
y 
= ỡ 
ớ = ợ 
và 
2 
5 
4 
5 
x 
y 
ỡ = ù ù 
ớ 
ù = 
ù ợ 
, suy ra  1 2 
2 4 
(2;0), ;
5 5 
M M ổ ử ỗ ữ 
ố ứ 
. 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
7  1,00 đ 
Do D đi qua A và vuụng gúc với d nờn D phải nằm trong mặt phẳng (P) đi qua 
A và vuụng gúc với d. 
Mặt phẳng  (P)  nhận  vtcp  (2; 1; 4) u = - 
r 
của d  làm vtpt, đi qua A(ư4;ư2;4) cú 
phương trỡnh : 2x ư y + 4z ư 10 = 0. 
Gọi M là giao điểm của d và (P) thỡ M(ư3 + 2t;1 ư t;ư1 + 4t) ẻ d và MẻD. 
Ta cũng cú Mẻ(P) Û 2(ư3 + 2t) ư (1 ư t) + 4(ư1 + 4t) – 10 = 0 
Û 21t – 21 = 0 Û t  = 1.Vậy M(ư1;0;3). 
Khi đú  (3;2; 1) AM = - 
uuuur 
, đường thẳng D qua A và M cú phương trỡnh: 
4 2 4 
3 2 1 
x y z + + - 
= = 
- 
. 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
8  Giải hệ phương trỡnh: 
( ) 3 
2 
2 
27 3 9 7 6 9 0(1) 
109 
2 3 0 (2) 
3 81 
x x y y 
x 
y x 
ỡ + + - - = 
ù 
ớ 
+ + - - = ù 
ợ 
.  1,00 đ 
Với điều kiện: 
2 2 
,
3 3 
x y Ê Ê  , (1) viết lại là: ( ) ( ) 2 9 1 3 6 9 1 6 9 x x y y + = - + -  . 
0,25 đ
Đặt  3 , 6 9 u x v y = = -  , ta cú: ( ) ( ) 2 2 1 1 u u v v + = +  . 
Xột h/s: ( ) 2 ( ) 1 f t t t = +  cú  2 '( ) 3 1 0 f t t = + >  nờn h/s luụn đồng biến  trờn  Ă , 
Suy ra 
2 
0 
3 6 9  2 
(3) 
3 
x 
u v x y 
y x 
³ ỡ 
ù = Û = - Û ớ 
= - ù ợ 
. 
Thế (3) vào (2) ta được: 
2 2 
2 2 109 2 3 0 
3 3 81 
x 
x x ổ ử + - + - - = ỗ ữ 
ố ứ 
(4). 
Nhận xột: 
2 
0, 
3 
x x = =  khụng phải là nghiệm của (4). 
Xột hàm số: 
2 2 
2 2 109 ( ) 2 3 
3 3 81 
x 
g x x x ổ ử = + - + - - ỗ ữ 
ố ứ 
Ta cú: ( ) 2  3 2 '( ) 2 2 1 0, 0; 
3 2 2 3 
g x x x x 
x 
ổ ử = - - < " ẻ ỗ ữ - ố ứ 
Nờn hàm số g(x) nghịch biến trờn 
2 
0; 
3 
ổ ử 
ỗ ữ 
ố ứ 
. 
Dễ thấy 
1 
3 
x =  là nghiệm của (4), suy ra 
5 
9 
y =  nờn hệ cú nghiệm duy nhất 
1 5
;
3 9 
ổ ử 
ỗ ữ 
ố ứ 
. 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
9  Tỡm GTLN, GTNN của biểu thức  2 5 5 x y P = +  , biết  0, 0, 1 x y x y ³ ³ + =  1,00 đ 
Do  1 1 x y y x + = ị = -  , nờn  2 1 2 
5 
5 5 5 
5 
x x x 
x 
P - = + = +  . 
Đặt  5 x t =  thỡ 1 5 t Ê Ê  (do  0 1 x Ê Ê  ). 
Xột hàm số  2 
5 
( ) f t t 
t 
= +  , với 1 5 t Ê Ê  . Ta cú 
3 
2 2 
5 2 5 
'( ) 2 
t 
f t t 
t t 
- 
= - =  . 
Do đú cú bảng biến thiờn: 
t  1  3 
5 
2 
5 
f’(t)  ư  0           + 
f(t) 
6                             26 
3 
25 
3 
4 
Vậy  3 3 
1 5 1 5 
5 25 
min min ( ) 3 ;max max ( ) (5) 26 
2 4 t t 
P f t f P f t f 
Ê Ê Ê Ê 
ổ ử 
= = = = = = ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ 
. 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
0,25 đ 
Cảm ơn thầy Dương Bỡnh Luyện( duongbinhluyen@phuyen.edu.vn) 
đó gửi tới www.laisac.page.tl