Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 thcs năm học 2010 – 2011 môn thi: Toán thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 – 2011
MễN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 4/03/2011 (Đề thi gồm cú 01 trang)
Cõu 1 (4 điểm)
 a. Rút gọn biểu thức: với x
 b. Phõn tớch đa thức thành nhõn tử.
Cõu 2 (4 điểm)
Giải phương trỡnh .
Giải hệ phương trình 
Cõu 3 (4 điểm)
Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y, z thỏa món đồng thời hai điều kiện sau :
 là số hữu tỉ và là số nguyờn tố.
b) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh : 4x - 8y + 2z + 4x – 4 = 0
Cõu 4 (6 điểm) 
	Cho tam giỏc ABC nhọn cú trung tuyến CM. Cỏc đường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I. Gọi E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q.
Chứng minh PI.AB = AC.CI
Gọi (O) là đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CDH. Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường trũn (O).
c) CE cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC tại R (R khỏc C); CM cắt đường trũn (O) tại K (K khỏc C). Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR.
Cõu 5 (2 điểm) 
 Cho các số dương a, b c thoả mãn a+b+c=abc.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
MễN TOÁN LỚP 9 – THCS NĂM HỌC 2010 – 2011
+ Đỏp ỏn gồm cú 05 trang
+ Thớ sinh làm theo cỏch khỏc đỳng vẫn cho đủ điểm thành phần tương ứng
Cõu
í
Nội dung
Điểm
1
a
 với x
 Lập phương hai vế ta được: (1)
0,5
Trong đó: 
0,25
Do đó: 
0,25
0,5
 Với: và 
0,25
 Vậy A=x
0,25
b
A = 
0,5
0,5
0,5
0,5
2
a
Giải phương trỡnh (1)
2,0
Vậy TXĐ: 
- Nếu thỡ VP(1) (khụng thỏa món)
0,25
0,5
- Nếu thỡ (1) 
Từ (1) và (2) suy ra 
0,5
0,5
Thử lại. Với x = 3 thỡ VT(1) = VP(1) = 12
Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 3
0,25
b
Giải hệ phương trình
2,00
- Nếu x = 0 thỡ hệ cú nghiệm (x ; y ; z) là (0 ; 0 ; 0)
0,25
- Nếu . Ta cú : 
0,5
Cộng theo vế cỏc phương trỡnh của hệ ta được
0,5
. Thử lại ta thấy thỏa món hệ pt đó cho.
0,5
Vậy hệ cú 2 nghiệm (x ; y ; z) là (0 ; 0 ; 0), .
0,25
3
a
Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y, z thỏa món đồng thời hai điều kiện
2,00
Ta cú , trong đú m, n là cỏc số nguyờn thỏa món 
n > 0, (m, n) = 1.
.
0,5
Vỡ là số vụ tỉ và m, n, x, y, z là cỏc số nguyờn nờn ta cú 
(2) nx – my = ny – mz = 0 .
0,5
Ta lại cú : 
Vỡ là số nguyờn tố và x + y + z là số nguyờn lớn hơn 1 nờn x – y + z = 1. Do đú 
0,5
Nhưng x, y, z là cỏc số nguyờn dương nờn 
Suy ra x2 = x, y2 = y, z2 = z => x = y = z = 1.
Khi đú và (thỏa món)
Vậy (x ; y ; z) = (1 ; 1 ; 1) thỏa món yờu cầu bài toỏn.
0,5
b
Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh .
2,00
Phương trình được biến đổi thành (1)
0,5
Vế trái của (1) là một số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1 (*)
0,5
Xét vế phải của (1): chia hết cho 8 ; chia hết cho 8 nếu chẵn , chia cho 8 dư 2 nếu lẻ 
 vế phải chia cho 8 dư 5 hoặc 3 (**). 
0,5
 Từ (*) và (**) suy ra phương trình (1) không có nghiệm nguyên 
hay phương trình đã cho vô nghiệm.
0,5
4
a
Chứng minh PI.AB = AC.CI
2,00
Chứng minh 
Ta cú : 
0,5
Chứng minh tứ giỏc ADIF nội tiếp 
0,5
Từ (1) và (2)
0,5
(đpcm)
0,5
b
Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường trũn (O)
2,00
Chứng minh tứ giỏc CDIH nội tiếp đường trũn (O)
 là gúc nội tiếp chắn cung DI (3)
0,5
 cú DM là đường trung tuyến 
 cõn tại M 
0,5
Ta lại cú (cựng phụ với ) (5)
0,5
Từ (4) và (5) 
Từ (3) và (6) suy ra MD là tiếp tuyến của đường trũn (O)
0,5
c
Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR
2,00
c
MD là tiếp tuyến của (O)
0,5
Chứng minh tứ giỏc ADHB nội tiếp 
0,5
Ta lại cú : 
Từ (7), (8), (9) BA là phõn giỏc của 
0,5
Chứng minh tương tự ta được AB là phõn giỏc của 
Từ đú suy ra AB là đường trung trực của KR.
0,5
5
Tacó 
0,50
Tươngtự ;
0,25
0,25
áp dụng BĐT (với A,B >0) ; Dấu “=” xảy ra khi A=B
0,25
 Ta có 
0,25
0,25
-------- Hết -------
Chứng minh thỏa món 
BĐT cuối cựng đỳng do . 
Đẳng thức xảy ra hoặc 
Chứng minh 
.
Đặt thỡ và 
BĐT trở thành 
Khụng giảm tổng quỏt, giả sử z nhỏ nhất suy ra . Theo cõu a
Ta sẽ CM . Bằng biến đổi tương đương
BĐT .
BĐT cuối cựng đỳng do và .