Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 năm học 2009 – 2010 môn thi: Toán lớp 9 - Bảng A thời gian làm bài: 150 phút

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
Đề chớnh thức
Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 
NĂM HỌC 2009 – 2010
Mụn thi: TOÁN LỚP 9 - BẢNG A
Thời gian làm bài: 150 phỳt
Cõu 1. (4,5 điểm): 
	a) Cho hàm số 
	 Tớnh tại 
	b) Tỡm cỏc nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 
Cõu 2. (4,5 điểm): 
	a) Giải phương trỡnh: 
	b) Giải hệ phương trỡnh:	
Cõu 3. (3,0 điểm):
	Cho x; y; z là cỏc số thực dương thoả món: xyz = 1
	Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức:
Cõu 4. (5,5 điểm):
	Cho hai đường trũn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trờn tia đối của tia AB. Vẽ cỏc tiếp tuyến CD; CE với đường trũn tõm O (D; E là cỏc tiếp điểm và E nằm trong đường trũn tõm O'). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường trũn tõm O' lần lượt tại M và N (M và N khỏc với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng: 
	a) 
	b) Khi điểm C thay đổi thỡ đường thẳng DE luụn đi qua một điểm cố định.
Cõu 5. (2,5 điểm):
	Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trờn đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là hỡnh chiếu của điểm M trờn AB và AC. Vẽ tại H. Xỏc định vị trớ của điểm M để tam giỏc AHB cú diện tớch lớn nhất.
- - - Hết - - -
Họ và tờn thớ sinh:.................................................................................................... Số bỏo danh:....................
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang )
Mụn: TOÁN - BẢNG A
Cõu
í
Nội dung
Điểm
1,
(4,5đ)
a)
(2,0đ)
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
(2,5đ)
 (1)
0,25
Đặt (2) 
0,25
(1) trở thành (3)
Từ (2) thay vào (3) ta được
0,25
 (*)
0,25
Để (*) cú nghiệm 
0,25
0,25
Vỡ hoặc 
0,25
Thay vào (*) 
 Với 
0,25
0,25
 Với 
0,25
0,25
2,
(4,5đ)
a)
(2,5đ)
ĐK hoặc 
0,25
Với thoó món phương trỡnh
0,25
Với Ta cú 
0,5
0,5
0,25
Dấu "=" Xẩy ra 
0,25
 Vụ lý
0,25
Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm duy nhất 
0,25
b)
(2,0đ)
 ĐK 
0,25
Từ (1) 
0,25
Thế vào (2) ta được:
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Thay vào hệ (I) ta được: 
0,25
3,
(3,0đ)
Ta cú 
0,25
0,25
Mà x; y > 0 =>x+y>0
0,25
Ta cú: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
0,25
ị x3 + y3 ≥ (x + y)xy
0,25
ị x3 + y3 +1 = x3 + y3 +xyz ≥ (x + y)xy + xyz
0,25
ị x3 + y3 + 1 ≥ xy(x + y + z) > 0
0,25
Tương tự:	y3 + z3 + 1 ≥ yz(x + y + z) > 0
0,25
	z3 + x3 + 1 ≥ zx(x + y + z) > 0
0,25
ị
0,25
ị
0,25
ị
0,25
Vậy giỏ trị lớn nhất của A là 1 Û x = y = z = 1
0,25
4,
(5,5đ)
a)
(3,0đ)
Ta cú:	 (cựng chắn cung BE của đường trũn tõm O)
0,25
	 (cựng chắn cung BN của đường trũn tõm O')
0,25
	ị 
0,25
hay ị BDMI là tứ giỏc nội tiếp
0,50
ị (cựng chắn cung MI)
0,25
mà (cựng chắn cung AE của đường trũn tõm O)
0,25
ị 
0,25
mặt khỏc (chứng minh trờn)
0,25
ị DMBI ~ D ABE (g.g)
0,25
ịÛ MI.BE = BI.AE
0,50
b)
(2,5đ)
Gọi Q là giao điểm của CO và DE ị OC ^ DE tại Q
ị D OCD vuụng tại D cú DQ là đường cao
ị OQ.OC = OD2 = R2 (1)
0,50
Gọi K giao điểm của hai đường thẳng OO' và DE; H là giao điểm của AB và OO' ị OO' ^ AB tại H.
0,50
Xột DKQO và DCHO cú chung
ị DKQO ~ DCHO (g.g)
0,50
ị 
Từ (1) và (2) 
0,50
Vỡ OH cố định và R khụng đổi 
ị OK khụng đổi ị K cố định
0,50
5,
(2,5đ)
DABC vuụng cõn tại A ị AD là phõn giỏc gúc A và AD ^ BC
ị D ẻ (O; AB/2)
0,25
Ta cú ANMP là hỡnh vuụng (hỡnh chữ nhật cú AM là phõn giỏc)
ị tứ giỏc ANMP nội tiếp đường trũn đường kớnh NP
mà H thuộc đường trũn đường kớnh NP
ị (1)
0,50
Kẻ Bx ^ AB cắt đường thẳng PD tại E
ị tứ giỏc BNHE nội tiếp đường trũn đường kớnh NE
0,25
Mặt khỏc DBED = DCDP (g.c.g) ị BE = PC
mà PC = BN ị BN = BE ị DBNE vuụng cõn tại B
ị mà (cựng chắn cung BN)
ị (2)
0,50
Từ (1) và (2) suy ra ị H ẻ (O; AB/2)
gọi H' là hỡnh chiếu của H trờn AB
lớn nhất Û HH' lớn nhất
0,50
mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D cựng thuộc đường trũn đường kớnh AB và OD ^ AB)
Dấu "=" xẩy ra Û H º D Û M º D
0,50
Lưu ý:	- Học sinh làm cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa
Điểm bài thi là tổng điểm khụng làm trũn.
Sở GD&ĐT Thanh hoá Đề xuất Đề thi học sinh giỏi lớp 9 	 	 Môn: Toán. Bảng A
 	 (Thời gian làm bài: 150 phút )
Bài 1: (4 điểm)
Cho phương trình x4 + 2mx2 + 4 =0
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 32
Bài 2: (4 điểm) 
Giải hệ phương trình
Bài 3: (3,5 điểm)
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức
x2 + xy + y2 = x2y2
Bài 4: (6 điểm) 
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R (R là một độ dài cho trước). M, N là hai điểm trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng cáckhoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN bằng 
1) Tính độ dài đoạn MN theo R.
2) Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I, giao điểm của các đường thẳng AM và BN là K. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo R.
3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích DKAB theo R khi M, N thay đổi những vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán.
Bài 5: (2,5 điểm)
Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện x2 + (3 -x)2 ³ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x4 + (3-x)4 + 6x2(3-x)2.
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán. Bảng A
Câu
Nội dung
Điểm
Bài 1
4
Phương trình x4 + 2mx2 + 4 =0 (1).
Đặt t = x2
Phương trình (1) trở thành: t2+ 2mt +4 =0 (2)
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t1, t2
Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm là x1,2 = 
Và x14 + x24 + x34 + x44 = 2 (t12 + t22) 
= 2[(t1 + t2)2 - 2 t1.t2] 
= 2[(-2m)2 -2.4] 
= 8m2 - 16 
Từ giả thiết ta có 8m2 - 16 = 32 (loại).
Vậy giá trị cần tìm của m là: 
0,5
1,5
1,5
0,5
Bài 2
4
Hệ phương trình:
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (1; 1); 
1
1
1,5
0,5
Bài 3
3,5
*Với ẵxẵ³ 2 và ẵyẵ³ 2 ta có: 
ị x2y2 ³ 2 (x2 + y2) = x2 + y2 +x2 + y2³ x2 + y2 + 2ẵxyẵ> x2 + y2 + xy
* Vậy ẵxẵÊ 2 hoặc ẵyẵ Ê 2 
- Với x =2 thay vào phương trình ta được 4 + 2y + y2 = 4y2
hay 3y2-2y -4 =0 ị Phương trình không có nghiệm nguyên
- Với x =-2 thay vào phương trình ta được 4 - 2y + y2 = 4y2
hay 3y2+2y -4 =0 ị Phương trình không có nghiệm nguyên
- Với x =1 thay vào phương trình ta được 1 + y + y2 = y2
hay y = -1 
- Với x =-1 thay vào phương trình ta được 1 - y + y2 = y2
hay 1- y = 0 ị y =1
- Với x = 0 thay vào phương trình ta được y =0
Thử lại ta được phương trình có 3 nghiệm nguyên (x, y) là:
(0; 0); (1, -1); (-1, 1)
0,5
0,75
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0.25
0,5
Bài 4
6
1
2
Dựng AA' và BB' vuông góc với MN.
Gọi H là trung điểm của MN ị OH^ MN
Trong hình thang AA'B'B ta có:
OH = (AA' + BB') = ị MH= 
ị MN= R và D OMN đều.
0,5
1,0
0,5
2
2
Dễ thấy các điểm M, N, I, K cùng nằm trên đường tròn đường kính IK
Gọi O' là trung điểm của IK ị 
ị MN = hay MO' = 
Do đó bán kính đường tròn qua M, N, I, K là 
0,75
0,5
0,5
0,25
3
2
Điểm K nằm trên cung chứa góc 600 dựng trên đoạn AB=2R nên dt(KAB) lớn nhất Û đường cao KP lớn nhất
Û D KAB đều, lúc đó dt(KAB) =
1,0
1,0
Bài 5
2,5
Đặt y =3-x bài toán đã cho trở thành: tìm GTNN của biểu thức:
P= x4 + y4 + 6x2y2 trong đó x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn:
Từ các hệ thức trên ta có:
 ị (x2 + y2) + 4(x2 + y2 + 2xy) ³ 5 + 4.9 =41
ị 5(x2 + y2) + 4(2xy) ³ 41
Mặt khác 16 (x2 + y2) 2 + 25(2xy)2 ³ 40(x2 + y2)(2xy) (1)
Dấu đẳng thức xảy ra Û 4 (x2 + y2) =5(2xy). 
Cộng hai vế của (1) với 25 (x2 + y2) 2 + 16(2xy)2 ta được: 
 41[ (x2 + y2) 2 + (2xy)2] ³ [5(x2 + y2) + 4(2xy)]2 ³ 412
hay (x2 + y2)2 + (2xy)2 ³ 41 Û x4 + y4+6x2y2 ³ 41
Đẳng thức xảy ra 
Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 41 đạt được Û x=1 hoặc x=2
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5