Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 11 thpt năm học 2013 – 2014 thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ ĐỀ XUẤT
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT
NĂM HỌC 2013 – 2014
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,0 điểm)
Giải phương trình 
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng 
b) Một hộp đựng 16 viên bi, trong đó có 5 viên bi màu đỏ đôi một khác nhau, 5 viên bi màu xanh đôi một khác nhau nhau và 6 viên bi màu vàng đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đã cho 7 viên bi. Tính xác suất để lấy được 7 viên bi lấy ra có đủ ba loại màu?
Câu 3 (2,0 điểm) 
Cho dãy số thỏa mãn Tính giới hạn
Tính giới hạn .
Cho là hai đa thức có bậc lớn hơn 1 và có hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện:
 với mọi số thực và với mọi . Chứng minh rằng cả hai đa thức đều có bậc không nhỏ hơn 2014.
Câu 4 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc ; cho tam giác ABC có tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp, trong tâm lần lượt có tọa độ là . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng và điểm nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các đoạn thẳng AD’ và C’D lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho đường thẳng MN song song với đường thẳng nối tâm của hình bình hành ABB’A’ và trung điểm của cạnh BC. Tính tỷ số .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, . Tính diện tích tam giác SBC, biết đường thẳng AC vuông góc với SD. 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
1
(2,0 điểm)
 Ta có 
0,5
0,5
0,25
0,25
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 
0,5
2
(2,0 điểm)
2a (1,0 điểm)
Áp dụng hệ thức ta có:
0,25
0,5
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được:
Vậy đẳng thức được chứng minh.
0,25
2b (1,0 điểm)
Kí hiệu là không gian mẫu, là biến cố lấy ra được 7 viên bi đủ ba loại màu. Khi đó
 là số cách lấy ra 7 viên bi bất kì từ hộp gồm 16 viên bi .
0,25
Số cách lấy ra 7 viên bi từ một trong hai loại đỏ và xanh là , số cách lấy ra 7 viên bi từ một trong hai loại xanh và vàng là , số cách lấy ra 7 viên bi từ một trong hai loại đỏ và vàng là suy ra 
0,5
Do đó . Vậy xác suất cần tìm là .
0,25
3
(3,0 điểm)
3a (1,0 điểm)
Chứng minh bằng pp quy nạp ta được 
0,5
Ta có 
0,25
 suy ra .
Vậy .
0,25
3b (1,0 điểm)
Ta có 
0,25
0,25
0,25
. Vậy 
0,25
3c (1,0 điểm)
Do là các đa thức nên liên tục trên 
0,25
Theo giả thiết với mọi nên 
0,25
Nếu tồn tại sao cho , kết hợp với liên tục trên suy ra có nghiệm suy ra có nghiệm vô lí. Do đó (1). 
Tương tự ta được (2).
Từ (1) và (2), kết hợp với bậc của lớn hơn 1 suy ra bậc của không nhỏ hơn 2014.
0,5
4
(3,0 điểm)
4a (1,0 điểm)
Ta chứng minh 
0,25
Suy ra .
Do B là giao của (d) và đường thẳng MH nên tọa độ B là nghiệm của hệ:
.
Gọi N là trung điểm của AC. Khi đó 
0,25
Ta có .
Do A thuộc đường thẳng AC nên , kết hợp với là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên 
0,25
+) Với 
+) Với 
Vậy hoặc 
0,25
4b (1,0 điểm)
Gọi P là trung điểm của BC, Q là tâm của hình bình hành ABB’A’. Xét tam giác A’BC, ta có PQ là đường trung bình nên PQ || A’C suy ra MN ||A’C.
0,25
Đặt . Ta có
0,25
. Do MN || A’C nên 
0,25
Do đó . Vậy .
0,25
4c (1,0 điểm)
Gọi O là giao điểm của AC và BD, gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên BD, K là hình chiếu vuông góc của H lên BC.
Do ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD, kết hợp với AC vuông góc với SD suy ra AC vuông góc với (SBD) suy ra AC vuông góc với SH. Kết hợp với SH vuông góc BD suy ra SH vuông góc (ABCD).
0,25
Do HK vuông góc với BC, SH vuông góc với BC suy ra BC vuông góc với (SHK) suy ra BC vuông góc SK .
0,25
Ta có tam giác SBD vuông tại S suy ra là trung điểm của BO, .
Ta có .
Mặt khác tam giác BOC đồng dạng tam giác BKH suy ra 
0,25
Theo định lí Pitago ta có: 
Suy ra . Vậy .
0,25