Kì thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học : 2015 - 2016 đề thi môn toán lớp 10 (thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)

SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC : 2015 - 2016
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10
 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) 
Câu 1. (2.5 điểm) Cho phương trình : (1)
 a. Giải phương trình (1) với . 
 b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn .
Câu 2. (1.0 điểm) Giải phương trình : 
Câu 3. (1.0 điểm) Giải bất phương trình : 
Câu 4. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình : 
Câu 5. (1.5 điểm) Cho tam giác đều cạnh . Lấy các điểm lần lượt trên các cạnh sao cho . Chứng minh .
Câu 6. (1.5 điểm) Trong mặt phẳng , cho tam giác cân tại . Gọi là điểm trên cạnh sao cho và là hình chiếu vuông góc của trên . Điểm là trung điểm đoạn . Xác định tọa độ đỉnh , biết đỉnh nằm trên đường thẳng có phương trình .
Câu 7. (1.0 điểm) Cho là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
------------------- HẾT -------------------
Họ và tên thí sinh : ... Số báo danh : ..
Thí sinh nghiêm túc làm bài, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm !
SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN
--------------µ-------------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC : 2015 - 2016
 MÔN TOÁN LỚP 10
CÂU
NỘI DUNG 
ĐIỂM
Cho phương trình : (1)
a. Giải phương trình (1) với .
Với , trở thành 
0.5
Đặt , ta được phương trình
0.5
Vậy với thì có ba nghiệm là : 
0.5
b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn .
Đặt , ta được phương trình
0.5
 có nghiệm thỏa mãn có nghiệm thỏa mãn 
 Lập bảng biến thiên của hàm số 
 0
Dựa vào bảng biến thiên ta được 
Vậy giá trị cần tìm là 
0.5
Giải phương trình : 
Nhận xét : Từ phương trình suy ra 
Ta có : 
Đặt , ta được phương trình 
0.5
Ta được : 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 
0.5
Giải bất phương trình : 
0.5
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 
0.5
Chú ý : Có thể giải phương trình, xét dấu sau đó suy ra nghiệm của bất phương trình. Hoặc có thể giải trực tiếp bất phương trình bằng ẩn phụ
Giải hệ phương trình : 
Nhận xét : Với thi hệ vô nghiệm
Hệ phương trình 
0.5
Đặt , ta được hệ 
0.5
Suy ra 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 
0.5
Chú ý : Có thể giải cách sau : Với , hệ tương đương
Cho tam giác đều cạnh . Lấy các điểm lần lượt trên các cạnh sao cho . Chứng minh .
Ta có : 
0.5
0.5
Suy ra (đpcm)
0.5
Trong mặt phẳng , cho tam giác cân tại . Gọi là điểm trên cạnh sao cho và là hình chiếu vuông góc của trên . Điểm là trung điểm đoạn . Xác định tọa độ đỉnh , biết đỉnh nằm trên đường thẳng có phương trình .
Kẻ song song , gọi , là trung điểm của 
Ta có tam giác DAE đồng dạng tam giác DBC
 là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đường kính EI
Ta có IM song song BH nội tiếp đường tròn đường kính EI nội tiếp đường tròn đường kính EI
0.5
Ta có 
Tọa độ B là nghiệm của hệ 
0.5
Tọa độ H thỏa mãn hệ 
Do M là trung điểm của CH, suy ra 
Chú ý : Có thể chứng minh bằng cách khác :
Kẻ d vuông góc BC, gọi I, J lần lượt là giao của d với CD và CA, E là trung điểm của BH. Chứng minh E là trực tâm tam giác IBM, D là trọng tâm tam giác JBC, IE song song AM, suy ra .
0.5
Cho là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
Ta có 
Tương tự : 
0.5
Suy ra :
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy đạt được khi 
0.5