Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 11 NĂM HỌC 2015 – 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
 01698735393
Môn thi: Toán – THPT
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi:06/04/2016
(Đề thi gồm 01 trang và có 5 câu)
Câu 1 (6 điểm).
a)Giải hệ phương trình 
b)Giải phương trình: 
Câu 2(3 điểm). Cho dãy số (an) xác định như sau: 
Tính tổng 
Câu 3 (3 điểm). Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh nam và 20 học sinh nữ thành một hàng dọc sao cho giữa hai học nam bất kỳ luôn có ít nhất 1 học sinh nữ?
Câu 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại C, AB = 10. Biết đường thẳng BC có phương trình và trung điểm I của AB thuộc đường thẳng .Tìm tọa độ A, B, C biết I có tung độ âm.
Câu 5 (3 điểm). Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn: 
Chứng minh rằng: 
.
-------------------------------Hết-------------------------------
Họ và tên thí sinh:............................................ Số báo danh:........................................
Chữ kí giám thị số 1:.................................. Chữ kí giám thị số 2:.................................
ĐÁP ÁN THI HSG 11 LẠNG SƠN MÔN TOÁN 06/4/2016
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
a
Từ 
TH1: thế vào pt còn lại của hệ : xy=1
TH2: thế vào pt còn lại của hệ : 
Vậy nghiệm của hệ (1;1), 
Câu 1
b
TH1: 
TH2: 
C 2
Câu 2
- Ta có nên đặt và 
,
Vậy :
Câu 3
Xếp 20 học sinh nữ trước ta có 20! cách xếp. Cố định mỗi cách xếp các học sinh nữ trên, ta có 21 vị trí có thể xếp các học sinh nam thỏa mãn đầu bài. Số cách xếp học sinh nam là: 
Vậy có cách xếp thỏa mãn.
Câu 4
Gọi E là trung điểm của BC ta có tam giác BEI vuông cân tại E và có IB = 5 do đó EB = IE = d(I, BC) = 
Gọi 
Gọi B(x ;7x+31) từ IB = 5 
Câu 5
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng:
Bài toán được phát biểu lại
Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn: Chứng minh rằng: 
Thật vây: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
Mặt khác ta có (đúng) vì(đúng)
Vậy đpcm dấu “ =” xảy ra khi 
C2