Khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Thái Thụy năm học 2011-2012 môn: Toán 7

UBND HUYỆN THÁI THỤY
PHÒNG GD&ĐT
 KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011-2012 . 
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3 điểm )
1- Tìm x và y thoả mãn : 
2- Có tìm được hai chữ số a và b để là bình phương của một số tự nhiên 
 không? Vì sao ?
Bài 2 (3 điểm )
1. Cho và . Tính M = 
2- Cho các số a; b ; c ; d thỏa mãn : b2 = ac và c2 = bd 
 Chứng minh rằng: 
Bài 3 (4 điểm )
1 . Tính : P = 
2- Tìm x thoả mãn : 
Bài 4 (2 điểm )
 	 Cho đa thức f(x) thoả mãn : x. f(x - 2011) = (x - 2012) . f(x) . 
 Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm khác nhau.
Bài 5 (8 điểm)
	Cho tam giác ABC có < 900 và = 2. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D.
1- Chứng minh: 
2- So sánh độ dài của ba đoạn thẳng : DH ;DC và DA.
	3- Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. 
 Tam giác AB’C là tam giác gì ? Vì sao ?
	4- Chứng minh : Nếu tam giác ABC vuông tại A thì: DE2 = BC2 – AB2
 Họ và tên : Số báo danh : ..
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG MÔN TOÁN 7
NĂM HỌC 2011-2012
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(3đ)
1- Tìm x và y thoả mãn : 
Nhận xét:
Đẳng thức xảy ra khi 2x – 2011 = 0 và 3y + 2012 = 0
 Tìm được x = và y = 
2- Có tìm được hai chữ số a và b để là bình phương của một số tự nhiên không? Vì sao ?
Ta có: 
 448 và 449 là hai số tự nhiên liên tiếp nên không là bình phương của một số tự nhiên
0.75đ
0.75đ
0.75đ
0.25đ
0.5đ
Bài 2
(3đ)
1. Cho và . Tính M = 
 ; (1)
Từ (1) và 
 Þ :=: = 1
 Þ : = 1
 Þ 
2- Cho các số a; b ; c ; d thỏa mãn : b2 = ac và c2 = bd 
 Chứng minh rằng: 
Từ b2 = ac và c2 = bd ta có : = (2)
Mà (3)
 Từ (2) và (3) có điều cần chứng minh
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.75đ
0.5đ
0.25đ
Bài 3
(4đ)
1 . Tính : 
P = 
 = 
2- Tìm x thoả mãn : 
 = 
 = x = 12
0.75đ
0.5đ
0.75đ
1.0đ
1.0đ
Bài 4
(2đ)
Cho đa thức f(x) thoả mãn : x. f(x - 2011) = (x - 2012) . f(x) . Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm khác nhau.
* Với x = 0 ta có - 2012 . f(0) = 0.f(- 2011) = 0 hay f(0) = 0 , vậy đa thức có 1 nghiệm x = 0
* Với x = 2011 ta có 2011 f(2011- 20111) = (2011-2012) f(2011) 
 Như vậy -1 f(2011) = 2011.f(0) = 0 , nên f(2011) = 0
 Vậy đa thức có 1 nghiệm x = 2011
Từ đây suy ra điều cần chứng minh
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
Bài 5
(8đ)
Cho tam giác ABC có < 900 và = 2. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D.
A
B
C
H
E
D
B’
1
2
1
1- Chứng minh: 
Tam giác BEH cân tại B nên 
 Mà . Vậy 
2-.So sánh độ dài của ba đoạn thẳng : DH ;DC và DA.
Chứng tỏ được DDHC cân tại D nên DC = DH. (1)
 Chứng minh được 
 Suy ra Þ DDAH cân tại D nên DA = DH. (2)
 Từ (1) và (2) ta có : DC = DH = DA
3- Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. 
 Tam giác AB’C là tam giác gì ? Vì sao ?
DABB’ cân tại A nên , mà 
Vậy . Kết luận : Tam giác AB’C cân tại B’ 
4- Chứng minh : Nếu tam giác ABC vuông tại A thì: DE2 = BC2 – AB2
Chứng minh được: Khi tam giác ABC vuông tại A thì 
 Chứng minh được: Tam giác AHD đều nên DA= AH
 Chứng minh được : suy ra : DE = AC
 Do AC2 = BC2 – AB2 từ đó DE2 = BC2 – AB2 
0.5đ
1.0đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
1.0đ
1.0đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Lưu ý: 
- Trên đậy là hướng dẫn chấm, đề nghị trước khi chấm tổ nghiên cứu kỹ và thống nhất 
- Điểm bài thi tính đến 0,25 điểm
- Không cho điểm hình vẽ, song nếu không có hình thì không chấm phần chứng minh hình
- Học sinh có các cách giải khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa
Bài 1: (2,0 điểm)
Þ=
0,25
Þ
0,25
ÞÞ
0,25
; (1)
0,25
(1) 
0,25
(1) 
0,25
Þ:=:
0,25
Þ 
0,25
Bài 2: ( 2,0 điểm)
	Thực hiện tính:
2S = 
0,25
2S-S = 
0,25
S =
0,25
S 
0,25
P = 
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 3: ( 2,0 điểm)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 5: Cho tam giác ABC có < 900 và = 2. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D.
a. Chứng minh BEH = ACB.
	b. Chứng minh DH = DC = DA.
	c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giác AB’C cân.
	d. Chứng minh AE = HC.
Câu a: 0,75 điểm
Hình vẽ:
BEH cân tại B nên E = H1
0,25
A
B
C
H
E
D
B’
1
2
1
ABC = E + H1 = 2 E
0,25
ABC = 2 C Þ BEH = ACB
0,25
Câu b: 1,25 điểm
Chứng tỏ được DDHC cân tại D nên DC = DH.
DDAH có:
 DAH = 900 – C
DHA = 900 - H2 =900 – C
Þ DDAH cân tại D nên DA = DH.
0,50
DDAH có:
 DAH = 900 - C
0,25
 DHA = 900 - H2 =900 - C
0,25
 Þ DDAH cân tại D nên DA = DH.
0,25
Câu c: 1,0 điểm
DABB’ cân tại A nên B’ = B = 2C
B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C
Þ C = A1 ÞAB’C cân tại B’
0,25
B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C
0,50
Þ C = A1 ÞAB’C cân tại B’
0,25
Câu d: 1,0 điểm
 AB = AB’ = CB’
BE = BH = B’H
Có: AE = AB + BE
 HC = CB’ + B’H
Þ AE = HC
0,25
 BE = BH = B’H
0,25
Có: AE = AB + BE
 HC = CB’ + B’H
Þ AE = HC
0,50
Bài 4 (2,5 điểm)
 Cho đa thức f(x) thoả mãn : x. f(x - 2011) = (x - 2012) . f(x) . 
 Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm khác nhau.
* Với x = 0 ta có - 2012 . f(0) = 0.f(- 2011) = 0 hay f(0) = 0 , vậy đa thức có 1 nghiệm x = 0
* Với x = 2011 ta có 2011 f(2011- 20111) = (2011-2012) f(2011) 
 Như vậy -1 f(2011) = 2011.f(0) = 0 , nên f(2011) = 0
 Vậy đa thức có 1 nghiệm x = 2011
Từ đây suy ra điều cần chứng minh