Khảo sát chất lượng học kì II môn: Toán – Lớp 9 thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

 KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II 
Môn: TOÁN – LỚP 9
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1,0 điểm) Giải các phương trình sau: 
a) 3	b) x4 - 6x2 +5 =0 c) 
Câu 2: (1,0 điểm) Cho 
	a/ Tính và 
	b/ Lập phương trình bậc hai ẩn nhận và làm nghiệm. 
Câu 3: (1,5 điểm) Cho hàm số y = 2x2 (1) 
	a/ Với giá trị nào của x thì hàm số (1) đồng biến. 
	b/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng y = 3x + 5 với đồ thị hàm số (1). 
Câu 4: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – 3 = 0 (1) với m là tham số
	a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m.
	b/ Tính giá trị của A = (x1 – x2)2, với x1; x2 là nghiệm của phương trình (1).
Câu 5: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm AO. Vẽ tia Cx vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại I. Trên đoạn thẳng IC lấy điểm K bất kì (K khác I và C), AK cắt nửa đường tròn tại M (M khác A).
	a/ Chứng minh: Tứ giác BCKM nội tiếp.
	b/ Tính AK. AM theo R.
	c/ Gọi D là giao điểm của BM với tia Cx, N là trung điểm của KD, E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD. Chứng minh EN có độ dài không đổi khi K di chuyển trên đoạn thẳng IC
Câu 6: (1,0 điểm) Cho 2 số thực a và b thỏa mãn a > b và ab = 4. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .
ĐỀ II
Câu 1. (2,0 điểm) 
 1. Giải hệ phương trình 
2. Cho hàm số . Tính 
Câu 2. (3,0 điểm)1. Cho hàm số (1) với . Xác định hệ số , biết đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm 
2. Cho phương trình (2), với là tham số. 
 a. Giải phương trình (2) khi 
 b. Tìm giá trị của để phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn 
Câu 3. (1,5 điểm) Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 sản phẩm. Nhưng khi thực hiện xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10% và xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%. Do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 404 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.
Câu 4. (3,0 điểm) Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R lấy điểm C cố định (C ¹ A; B) và một điểm M tùy ý trên cung (M ¹ A; C). Kẻ MH ^ AB tại H. Gọi K là giao điểm của AC và MH, E là giao điểm của MB và CA. Chứng minh rằng:
 a. Tứ giác BHKC là tứ giác nội tiếp.
 b. Tam giác AHK đồng dạng với tam giác ACB. 
 c. AK.AC = AM2.
 d. AE.AC + BE.BM luôn có giá trị không đổi khi điểm M di chuyển trên cung AC.
Câu 5. (0,5 điểm) Cho hai số thực thỏa mãn 
Hãy tính giá trị của biểu thức 
ĐỀ III
Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình và hệ phương trình sau: 
a) 	b) 
Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình bậc hai: 
a) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm kép, tính nghiệm kép đó.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn .
Câu 3 (2,0 điểm). a) Cho đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng - 3. Tìm m ? 
b) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10km/h nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai một giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô, biết A và B cách nhau 300km. 
Câu 4 (3,0 điểm).Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm. Kẻ cát tuyến ADE với đường tròn (O) 
(AD < AE). Chứng minh rằng:
Tứ giác ABOC nội tiếp.
b) AB2 = AD. AE.
c) BD. CE = CD. BE.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y thỏa mãn x + 3y = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	 .
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
Câu
Hướng dẫn chấm
Biểu điểm
Câu 1 
(1 điểm)
Giải đúng ý a,b mỗi ý 
c
0,25
0,25
Câu 2 
(1 điểm)
a/ Tính được S = 2; P = - 1
b/ Vì S = 2; P = - 1
Phương trình bậc hai lập được: x2 – 2x – 1 = 0 
0,5
0,5 
Câu 3 (1,5điểm)
a/ Vì a = 2>0 => Hàm số đồng biến với x > 0 
b/ Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là :
2x2 = 3x + 5 ó 2x2 – 3x – 5 = 0 
Có: a – b + c = 2 + 3 – 5 = 0 => x1 = -1; x2 = 5/2
Với x = x1 = - 1 => y1 = 2
Với x = x2 = 5/2 => y2 = 25/2
Vậy tọa độ giao điểm của hai đồ thị là (-1; 2) và (5/2; 25/2)
0,5
1,0
Câu 4
(2,0điểm)
x2 – 2mx + m2 – 3 = 0 (1)
a/ Vì a = 1 => Pt (1) là phương trình bậc hai ẩn x với mọi m.
Có: => Pt (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m ( đpcm) 
b/ Với x1; x2 là hai nghiệm của phương trình.
Theo Viet ta có: x1 + x2 = 2m; x1.x2 = m2 – 3 
Lại có A = (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 => A = 4m2 – 4m2 + 12 = 12
Vậy A= 12
0,25
0,75
1,0
Câu 5
(3,5điểm)
a/ Chứng minh: Tứ giác BCMK nội tiếp.
 +/ Trong đường tròn (O) có KMB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 Lại có: góc KCB = 900 ( Do KC vuông góc với AB) 
=> Góc KMB + góc KCB = 1800 => Tứ giác BCKM nội tiếp.
b/ Tính AK.AM theo R 
+/ C/m: tam giác AKC đồng dạng với tam giác ABM
=> AK.AM = AC.AB = .
c/ C/m: EN không đổi
Gọi H là điểm đối xứng với B qua C => Góc DHA = góc DBC 
Mà góc DBC = góc AKC ( Tam giác AKC đồng dạng với tam giác ABM )
góc DHA = góc AKC 
Tứ giác AHDK nội tiếp đường tròn tâm E 
 Gọi F là trung điểm HA => EF vuông góc với HA và FC = R
Lại có N là trung điểm KD => EN vuông góc với KD 
góc ENC = góc NCF = góc EFC = 900 => ENCF là hình chữ nhật 
=> EN = FC = R không đổi (đpcm) 
1,0 
0,25
0,75
0,5
0,5
0,5
Câu 6
1 điểm 
Ta có: ( Do ab = 4) 
Vì a > b => a – b > 0. Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương là và => 
Dấu “=” xảy ra ó 
Vậy GTNN của A là 6 ó a = 4; b = 1
0,5
0,5
ĐỀ II
Hướng dẫn giải
Điểm
Câu 1
(2 điểm)
1
(1 điểm)
Ta có: 
0,25
0,5
KL:.
0,25
2
(1 điểm)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2
(3 điểm)
1
(1 điểm)
Vì đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm nên, ta có:
0,5
 (thoả mãn điều kiện )
0,25
KL:.
0,25
2.a
(1 điểm)
Khi ta có phương trình 
0,25
Ta có : 
0,25
=> Phương trình có nghiệm , 
0,25
KL:.
0,25
2.b
(1 điểm)
Ta có: 
Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi
0,25
Vì với thì phương trình (2) có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét, ta có:
0,25
Theo đề bài, ta có: 
Thay (1) vào (2), ta được: 
 ( Thỏa mãn ĐK)
0,25
KL:.
0,25
Câu 3
(1,5 điểm)
(1,5 điểm)
 Gọi số sản phẩm xí nghiệp I phải làm theo kế hoạch là x, xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch là y 
0,25
Hai xí nghiệp phải làm theo kế hoạch là 360 sản phẩm nên ta có phương trình: x + y = 360 (1)
0,25
Thực tế xí nghiệp I vượt mức 10%, xí nghiệp II vượt mức 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 404 sản phẩm nên ta có phương trình: 
 10%x + 15%y = 44 hay 2x + 3y = 880 (2)
0,25
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
 (thoả mãn điều kiện)
0,5
KL:.
0,25
Câu 4
(3 điểm)
Hình vẽ: 
1
(1 điểm)
 Ta có góc (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Hay 
0,25
Xét tứ giác BHKC, có:
(vì )
(cm trên)
0,25
 , mà hai góc này là hai góc đối diện .
0,25
Vậy tứ giác BHKC nội tiếp đường tròn.
0,25
2
(0,75 điểm)
Xét DAHK và DACB có:
0,25
 chung
0,25
Do đó: DAHK DACB (g-g) 
0,25
3
(0,75 điểm)
Vì DAHK DACB (g-g) Suy ra AK.AC = AH.AB 	(1)
0,25
Áp dụng hệ thức lượng trong tam vuông AMB ta có:
 AH.AB = AM2 (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra AK.AC = AM2.
0,25
4
(0,5 điểm)
Kẻ (I thuộc AB)
Chứng minh được: DAEI DABC (g-g), suy ra AE.AC = AI.AB (3)
Chứng minh được: DBEI DBAM (g-g), suy ra BE.BM = BI.AB (4)
0,25
Từ (3) và (4) suy ra:
( Không đổi)
0,25
Câu 5
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
0,25
Với ta có: 
Vậy P = 2017 hoặc P = 2019.
0,25
Tổng điểm
10
ĐỀ III
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(2 điểm)
1) 
 , 
0,5
phương trình có hai nghiệm phân biệt , 
0,5
2) 
0,25
0,25
0,25
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x ; y) = (1 ; -2)
0,25
Câu 2
(2 điểm)
1) 
0,25
Phương trình có nghiệm kép khi:
0,25
Khi đó phương trình có nghiệm kép là 
0,25
Vậy m = 14 thì pt đã cho có nghiệm kép là 
0,25
2) Phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 khi:
0,25
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
0,25
Theo bài ra ta có: (3), từ (1) và (3) ta có
0,25
Thay kết quả trên vào (2) ta được m + 2 = 12 m = 10 (thỏa mãn). 
Vậy là giá trị cần tìm.
0,25
Câu 3
(2 điểm)
1) Cho đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng - 3 nên thay x = - 3 vào công thức ta có y = 9
0,25
Do đó điểm (- 3; 9) thuộc đường thẳng y = 2x + m nên 9 = 2.(- 3) + m 
Suy ra m = 15
0,25
2) Gọi vận tốc ô tô thứ nhất là x (km/h), x > 10;
 Khi đó vận tốc ô tô thứ hai là x - 10 (km/h)
0,25
 Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là (h);
Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là (h)
0,25
Theo bài ra ta có phương trình: - = 1
0,25
, giải pt ta được (TM), (loại)
0,5
Vậy vận tốc ô tô thứ nhất là 60km/h, vận tốc ô tô thứ hai là 50km/h
0,25
Câu 4
(3 điểm)
0,25
1) Ta có () và (AC OC) 
0,25
Suy ra 
0,25
Do đó tứ giác ABOC nội tiếp.
0,25
2) Xét và có chung, (hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) đồng dạng với (g.g)
0,5
.
0,5
3) Do đồng dạng với (theo 2) nên 
0,25
Chứng minh tương tự ta có 
0,25
mà AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
0,25
0,25
Câu 5
(1 điểm)
Do x + 3y = 5 suy ra x = 5 - 3y thay vào biểu thức: 
ta có: 
0,25
0,25
0,25
Do đó A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 25 khi x = 2, y = 1
0,25