Hệ thống bài tập Đại số Nâng cao – Học kì 2 – lớp 10

Hệ thống bài tập Đại số Nâng cao – Học kì 2 – lớp 10 
khanhnguyennhatrang@gmail.com .Tel : 0914455164 
1 
PHẦN 1 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
Bài 1. Giải các bất phương trình sau: 
a) 2
2 3
3 2 1x x x
≥
− + −
 b) 
3 22 3 0(2 )
x x
x x
+ − ≤
−
 c) 
3 2
3
2 2 0
4 9
x x x
x x
− + + − ≥
−
Bài 2. Giải các bất phương trình sau: 
a) 2 2 8 2x x x− − x - 4 c) x2 + 2 3+x - 10 0≤ 
d) 01232 ≥++− xx e) 4 1 2 2x x x− + − > − f) 2
35
9
−≥
−−
x
x
Bài 3. Giải các bất phương trình sau: 
a) 2x 4x x 3− > − . 
b) 2x 4x 5 2x 3− + + ≥ . 
c) 2x 4x 3 x 1− + < + . 
d) ( )22 x 1 x 1− ≤ + . 
e) 1 x 1 2
x
− +
≥ 
f) x 11 x 4 2x 1+ ≥ − + − 
 g) x 1 2 x 2 5x 1+ + − ≤ + 
h) 2 2x 4x 3 2x 3x 1 x 1− + − − + ≥ − 
k) 
2x
1 x 1 x 2
4
+ + − ≤ − 
l) 2 2 2x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4− + + − + ≥ − + 
m) ( )2 2x x 2 2x 1 0+ − − < . 
n) ( )( ) 24 4 x 2 x x 2x 8− − + ≤ − − 
o) 2 22x 4x 3 3 2x x 1+ + − − > . 
p) ( ) ( )22x x 4 x 4x x 2 2− − + + − < 
q) 
2 2 2x 8x 15 x 2x 15 4x 18x 18− + + + − ≤ − + 
r) 3 13 x 2x 7
2x2 x
+ < + − . 
s) ( )( ) 2x 1 x 4 5 x 5x 28+ + < + + 
Đáp số : 
a) ( ) 9x ;0 ;
2
  ∈ −∞ ∪ +∞   
. b) 2x ;
3
  ∈ −∞   
. c) )1x ;1 3;
3
 
 ∈ ∪ +∞   
. 
d) ( )x 1 x 1;3= − ∨ ∈ . e) 3x 0;
4
 
 ∈   
. f) x 4;5 ∈    . 
g)2 x 3≤ ≤ . k) x 1;1 ∈ −   . l) x 1 x 4= ∨ ≥ . 
o) x 3;1 ∈ −   . p) ( ) x 2 3; 2 3∈ − + . q) x 0 x 5 . 
r) 3 7 3 70 x 4 ;x 4
2 2
 + . s) ( )x 9;4∈ − . 
Bài 4*. Giải các bất phương trình sau: 
a) 27x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x+ + − + + − < − , 
b) x 1 x 12 3
x x
− −
− ≥ c) 
2 26 x x 6 x x
2x 5 x 4
+ − + −
≥
+ +
. 
d) 5x 1 x 1 2x 4− − − > − . h) 2 2 2x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4− + + − + ≥ − + 
Hệ thống bài tập Đại số Nâng cao – Học kì 2 – lớp 10 
khanhnguyennhatrang@gmail.com .Tel : 0914455164 
2 
f)( )2 2x 3x 2x 3x 2 0− − − ≥ g) 1 x 1 x x+ − − ≥ . 
e) ( )
22 x 16 7 x
x 3
x 3 x 3
− −
+ − >
− −
 k) 
( )2
x x
1
1 2 x x 1
−
≥
− − +
. 
ĐÁP SỐ : 
a)hd: t 7x 7 7x 6= + + − => 6 x 6
7
≤ < . b) 1x ;0
12
  ∈ −   
. c) x 2; 1 x 3 ∈ − − ∨ =   . 
d) 2 x 10≤ ≤ . e) x 1 x 4= ∨ ≥ f) 1x
2
≤− hoặc x 3≥ . 
g) HD: Liên hiệp 0 x 1⇒ ≤ ≤ . h) x 10 34> − . k) 3 5x
2
−
= . 
Bài 5 : Định m để biểu thức ( )f x sau luôn dương với mọi x 
1/ ( ) ( )2f x x m 2 x 8m 1= − + + + . 2/ ( ) ( )2f x mx 2 m 1 x 4m= − − + . 
Bài 6 : Định m để biểu thức ( )f x sau luôn không dương với mọi x (luôn luôn âm) 
1/ ( ) ( )2f x 2x 2 m 2 x m 2= − + − + − . 2/ ( ) ( ) ( )2f x m 2 x 2 m 2 x 2= − + − + . 
Bài 7 : Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm 
1/ ( )2 2x 1 m 3 x m m 3 2 0+ + + + + = . 2/( ) ( )2 22m 7m 10 x 2 m 3 x 1 0− + + − + = . 
Bài 8 : Tìm tham số m để các bất phương trình sau thỏa x∀ ∈ 
 
1/ ( )2 21 x 2 m 2 x m 0
m
+ − + > . 2/ ( ) ( )2 2 21 m x 3 m 1 x 1 0− − − + ≥ . 
3/ 
( )
2
2
x 8x 20
0
mx 2 m 1 x 9m 4
− +
<
+ + + +
. 5/ ( ) ( )23 m 6 x 3 m 3 x 2m 3 3+ − + + − > . 
Bài 9 :Tìm tham số m để các bất phương trình sau vô nghiệm 
1/ 2x 6x m 7 0+ + + ≤ . 2/ ( )2x 2 m 1 x 1 0− + − + ≥ . 
3/ ( ) 2m 2 x 2x 4 0− + − ≥ . 4/ ( ) ( )2m 1 x 2 m 1 x 3m 2 0− + − + − > . 
5/ ( ) ( )2m m 8 x 2 m 8 8m 1 0+ − + + + ≥ . 6/ ( ) ( )2 2m 2m 3 x 2 m 1 x 1 0+ − + − + < . 
Bài 10 :Tìm tham số m để các bất phương trình sau có nghiệm 
1/ ( )2mx 2 m 1 x m 2 0+ + + − ≤ . 2/ ( ) ( )2m 2 x 2 m 2 x m 4 0+ + + + + ≥ . 
Bài 11: Giải và biện luận các bất phương trình sau 
1/ 2x mx m 3 0− + + > . 2/ ( ) 21 m x 2mx 2m 0+ − + ≤ . 
Bài 12: Tìm tham số m để bất phương trình sau thỏa điều kiện x cho trước 
1/ ( )2x 2 m 1 x m 3 0+ + − + ≥ x 0∀ ≥ . 2/ ( )2x 2 m 1 x m 3 0+ + − + ≥ x 0∀ ≤ . 
3/ ( )2x m 1 x 1 0− + + > x 0∀ > . 4/ ( ) ( )23 m x 2 m 1 x 1 0− − + + > x 0∀ < . 
5/ ( )2x 2 m 2 x m 2 0− − + − ≤ x 0;1 ∀ ∈    6/ ( ) ( )
2m 2 x 2 m 2 x 1 0− − − + ≤ x 0;1 ∀ ∈   
. 
Hệ thống bài tập Đại số Nâng cao – Học kì 2 – lớp 10 
khanhnguyennhatrang@gmail.com .Tel : 0914455164 
3 
7/ 2x 2mx 3m 2 0− + − > ( )x 1;2∀ ∈ . 8/( ) ( ) ( )2m 1 x 2 2m 1 x 3 1 2m+ − − < − ( )x 1;1∀ ∈ − . 
9/ ( )( )x m 1 x m 3 0− + − + < ( )x 1;2∀ ∈ . 10/ ( )( )x 3 2m x 3m 2 0+ − + − < x 2;3 ∀ ∈    . 
11/ ( )( )x 2m x m 1 0− + − > )x 3;∀ ∈ +∞ . 12/ ( )
2
2
x 2x 4
2
x m 1 x 4
+ +
<
− + +
 x∀ ∈ 
 . 
Bài 13:Tìm tham số m để hai bất phương trình sau đây tương đương nhau 
1/ 24x 8x 3 0− + > & 2 4x 2x 1 m 0− + − ≥ 2/ 2x x 20 0− − ≥ & ( )2x 2 m 1 x 1 0− + − + ≥ . 
Bài 14: Tìm tham số m để bất phương trình: ( ) 21 m x 2mx m 6 0− + + − ≥ 
1/ Có nghiệm. 2/ Có duy nhất một nghiệm. 
3/Có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1. 
Bài 15: Tìm tham số m để bất phương trình: ( )2mx 2 m 1 x m 5 0− − − − ≤ 
1/ Có nghiệm. 2/ Có duy nhất một nghiệm. 
3/ Có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2. 
Bài 16 : Tìm tham số m để nghiệm các hệ sau thỏa yêu cầu bài toán 
1/ 
( )
2
2 2
x 6x 5 0
x 2 m 1 x m 1 0
 − + <

 − + + + =
Có nghiệm. 2/
( ) ( )
2
2
x 7x 8 0
x 3m 1 x m 2m 1 0
 + − <

 − + + + =
 Vô nghiệm. 
3/ 
2 2
2
x 2mx 2m m 2 0
x 2mx 2m 0
 − + + − =

 − + >
 Có nghiệm duy nhất. 
Bài 17 : Cho bất phương trình: ( ) ( ) 2x 2 x m 1 x 2x 3− + + ≥ − + ∗ 
1/ Tìm m để BPT ( )∗ có nghiệm. 2/ Tìm m để độ dài tập nghiệm của BPT ( )∗ = 2. 
Bài 18 : Cho bất phương trình: mx x 3 m 1− − ≤ + . 
1/ Giải BPT với 1m
2
= . 2/ Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình có nghiệm ? 
ĐS: 1/ 3 x 7≤ ≤ . 2/ 1 3m
4
+
≤ . 
Bài 19. Cho phương trình (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + 2m – 6 = 0. Tìm m để phương trình 
a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có hai nghiệm trái dấu 
c) Có hai nghiệm âm phân biệt d) Có hai nghiệm dương phân biệt. 
Bài 20. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện được chỉ ra: 
a) x2 + (2m + 3)x + m – 2 = 0 , x1 < 0 ≤ x2. b) mx2 +2(m - 1)x +m – 5 = 0, x1 < x2 < 0 . 
 c) (m + 3)x2 + 2(m - 3)x + m – 2 = 0, x1 ≥ x2 > 0. 
Bài 21* Cho phương trình x4 + 2(m + 2)x2 – (m + 2) = 0 (1) 
a) Giải phương trình (1) khi m = 1. b) Tìm m để PT (1) có 4 nghiệm phân biệt; 
c) Tìm m để PT (1) có 3 nghiệm phân biệt d) Tìm m để PT (1) có 2 nghiệm phân biệt; 
e) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất. 
Bài 22. Cho tam thức bậc hai f(x) = 3x2 – 6(2m +1)x + 12m + 5. 
a) Tìm m để f(x) > 0 với mọi x ∈ R. b*) Tìm m để f(x) có ít nhất một nghiệm lớn hơn -1. 
Hệ thống bài tập Đại số Nâng cao – Học kì 2 – lớp 10 
khanhnguyennhatrang@gmail.com .Tel : 0914455164 
4 
PHẦN 2 : LƯỢNG GIÁC 
Bài 1. Tính các giá trị lượng giác khác của góc α khi biết : 
 a) 2 3cos = , 2
25
pi
α α pi< < b) tan 2,
2
pi
α α pi= − < < 
 c) 1 3sin ,
3 2
pi
α pi α= − < < d) cot 5,
2
pi
α pi α= − < < − 
Bài 2. Tính các giá trị lượng giác của góc α khi biết 4cos =
2 5
α
 và 0
2
pi
α< < . 
Bài 3. Cho tan α = 4
3
. Tính giá trị các biểu thức: 
 a) A = 4sin cos
3sin 2cos
α α
α α
−
+
 b) B =
3 3sin 2cos
sin 5cos
α α
α α
−
+
 c) C =
3
4 4
3sin cos
4sin cos
α α
α α+
Bài 4. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 
A = 3(sin4x + cos4x) - 2(sin6x + cos6x) ; B = 6 6 2 2sin cos 3sin cos xx x x+ + 
C = cos6x + 2sin4x cos2x + 3 sin2x cos4x + sin4x; D = sin3x sin3x + cos3x cos3x - cos32x . 
E = 3(sin8x - cos8x) + 4(-2sin6x + cos6x) + 6 sin4x 
F = 
pi pi
+ + + −2 2 2
2 2
cos cos ( ) cos ( )
3 3
x x x G = pi pi+ + + +2 2 22 4sin sin ( ) sin ( )
3 3
x x x . 
Bài 5. Cho 1sin cos
2
α α+ = . Tính giá trị các biểu thức: 
 a) A = sin .cosα α b) B = 4 4sin cosα α+ c) C = | sin cos |α α− . 
Bài 6. a) Cho 2sin a
3
= với 0 a
2
pi
< < . Tính các giá trị lượng giác còn lại của cung a. 
b) Cho cot a 3= − vôùi 3a ;2
2
pi 
∈ pi 
 
. Tính giaù trò 1 7P tan a
cosa sin a
= + − ; 
c) Cho pi pi= − < <  
 
12 3
sin ; 2 .
13 2
a a Tính pi −cos( )
3
a . 
Bài 7. Tính giá trị các biểu thức: 
a) A = 00
1 4 os20
os80
c
c
− b) B = 0 0
3 1
sin 20 os20c
− 
c) C = sin100. sin300. sin500. sin700 d) D = 0 0 0 0 0 0sin 20 sin 40 sin80 cos 20 cos 40 cos80+ 
e) E = 7 13 19 25sin .sin .sin .sin .sin
30 30 30 30 30
pi pi pi pi pi
 f) F = pi pi pi+ +2 4 6cos cos cos
7 7 7
Bài 8. a) Cho tan a = 2. Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a, cot 2a. 
 b) Cho 4
5
sinα = và 
2
pi
α pi< < . Tính các giá trị lượng giác của cung 
2
α
. 
 c) Cho α = 1cos2
8
 và piα< <0
2
. Tính α αsin 2 ; tan 2 ; α αsin ; cos . 
Hệ thống bài tập Đại số Nâng cao – Học kì 2 – lớp 10 
khanhnguyennhatrang@gmail.com .Tel : 0914455164 
5 
Bài 9. Chứng minh các đẳng thức: 
a) + = +4 4 3 1sin cos cos4
4 4
a a a ; b) + = +6 6 5 3sin cos cos4
8 8
a a a ; 
c) pi pi− + = 1cos .cos( ).cos( ) cos3
3 3 4
x x x x d) pi pi− + = 1sin .sin( ).sin( ) sin3
3 3 4
x x x x 
e) 3
tan sin 1
sin cos (1 + cos )
x x
x x x
−
= f) sin 4 cos 2. tan
1 cos 4 1 cos 2
α α
α
α α
=
+ +
g) 
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan
.
1 tan cot tan cot
x x x
x x x x
+ +
=
+ +
 h) cos3 x.sinx - sin3x.cosx = 1
4
sin4x 
k) sin3x.cos3x + cos3 x.sin3x = 3
4
sin4x l) − − −+ + =sin( ) sin( ) sin( ) 0
cos .cos cos .cos cos .cos
a b b c c a
a b b c c a
Bài 10 : Rút gọn các biểu thức: 
a) A = 2 2[sinx.sin( ).sin( )] [cosx.cos( ).cos( )]
3 3 3 3
x x x x
pi pi pi pi
− + + − + 
b) B = 3 9sin( ) cos(7 ) 2sin( )
2 2
x x x
pi pi
pi− + + + + 
c) C = 101 2011 1001cos( ) sin(2009 ) cos( ) tan( ) cot(3 )
2 2 2
x x x x x
pi pi pi
pi pi+ + + + + − − + + . 
d) D = pi pi pi pi+ + + + + +2 2tan . tan( ) tan( ). tan( ) tan( ). tan
3 3 3 3
x x x x x x 
e) E = −
−
2 2
2 2
tan 2 tan
1 tan 2 . tan
a a
a a
 ; 
f) F = + + + +1 1 1 1(1 )(1 )(1 )(1 )
cos cos2 cos4 cos8a a a a
. 
g) G = 1 1 1 1 1 1 cos (0 )
2 2 2 2 2 2 2
x x
pi
+ + + < < 
Bài 11. Rút gọn các biểu thức: 
a) A = sinx + sin2x + sin3x + sin4x
cosx + cos2x + cos3x + cos4x
; c) C = sin3x + 2sin4x + sin5x
sin2x + 2sin3x + sin4x
. 
b) B = cos 4 cos 2
sin 4 sin 2
a a
a a
−
+
 d) D = sin 4 sin 5 sin 6
cos4x + cos5x + cos6x
x x x+ +
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 6 6
1
sin cosx x+
.