Giáo trình Sáng tạo bất đẳng thức từ một bài toán gốc

 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 1 - 
 Sáng tạo bất đẳng thức 
 từ một bài toán gốc 
 (Phần 1) 
 Ngô Văn Thái 
 Trường T.H.P.T Phạm Quang Thẩm 
 Vũ Thư-Thái Bình 
 Trong quá trình giải toán tôi gặp một bài toán bất đẳng thức (b.đ.t) sau đây 
 “ Cho ba số thực không âm a,b,c . Chứng minh rằng 
 ( ) ( )342222 cbaacba ++≥++ ” (*) 
 Lời giải: Áp dụng b.đ.t trung bình lũy thừa ( )222
2
1
cbcb +≥+ ta được 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]222442242222222 4
4
1
4
1
2
1
cbacbacbcbaacbacba ++++=++++=



++≥++ 
 Mặt khác theo b.đ.t Cauchy hai số thì ( ) ( )cbacba +≥++ 44 22 
 Do đó ( ) ( )342222 cbaacba ++≥++ 
 Đẳng thức xẩy ra khi 0≥== cba , hoặc 0,0 ≠== acb . Bài toán được chứng 
minh. 
 Sau khi giải xong bài toán trên tôi thấy bài toán cũng bình thường như nhiều bài 
toán khác không dễ cũng không khó, nên một thời gian dài tôi không để tâm tới bài 
toán đó nữa. Nhân một hôm đọc lời giải bài toán b.đ.t thi quốc tế IMO-42 đăng 
trong cuốn sách“40 năm OLYMPIC toán học quốc tế” của G.S-T.S Vũ Dương 
Thụy,Th.S Nguyễn Văn Nho, trong lời giải có phép biền đổi dẫn đến b.đ.t sau: 
3
1
3
1
3
1
3
1
2 8
cba
a
bca
a
++
≥
+
 Tiếp sau đó tôi đọc cuốn “Bất đẳng thức, suy luận và khám phá” của Phạm Văn 
Thuận, Lê Vĩ, cũng thấy giới thiệu lời giải bài toán b.đ.t thi quốc tế IMO-42 của tác 
giả Hojoo Lee,trong lời giải đẹp này lại đưa đến b.đ.t sau: 
cba
a
cba
a
++
≥
+ 4
3
4
3
2
3
4
3
8
 Tự nhiên tôi liên tưởng đến bài toán (*) đã bỏ quên từ lâu, thế là tôi đi đến 
quyết định, thử tìm hiểu xem giữa bài toán (*) và bài toán b.đ.t thi quốc tế IMO-42 
có mối liên hệ gì với nhau hay không ? và cũng từ b.đ.t (*) liệu có thể khai thác để 
sáng tạo ra những bài toán b.đ.t đẹp được hay không ? Thật bất ngờ khi sử dụng 
 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 2 - 
b.đ.t (*) kết hợp với các b.đ.t quen biết khác thì điều dự đoán của tôi đã thu được 
nhiều kết quả đẹp, ấn tượng vượt trên cả sự mong đợi. 
 Sau đây tôi xin được chia sẻ với bạn đọc về những nét tìm tòi của mình xung 
quanh bài toán b.đ.t (*), mặc dù cách tìm tòi của tôi không phải là điều gì mới mẻ, 
nhưng các kết quả tìm ra lại không cũ. Vì vậy tác giả vẫn mong muốn được đón 
nhận nhiều ý kiến trao đổi từ phía bạn đọc. Bài viết này dành để tặng các em học 
sinh khá giỏi môn toán, tác giả rất vui mừng sau khi các em đọc xong bài viết này 
sẽ tự mình sáng tạo ra những bài toán hay, đẹp hơn nữa từ những bài toán quen 
thuộc, chúc các em thành công. 
 1-Sử dụng bất đẳng thức (*) để chứng minh bài toán thi quốc tế IMO-42 
 Bài toán: 
 Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng 
 1
888 222
≥
+
+
+
+
+ xyz
z
zxy
y
yzx
x
 Chứng minh 
 Từ b.đ.t (*): ( ) ( )342222 cbaacba ++≥++ theo b.đ.t Cauchy hai số ta được 
 ( ) ( )
( ) ( ) ⇔++≥+⇔+≥++ 22222332
3
42222
8
18
cba
a
bca
bcaacba 
( ) 222
2
2
3
3
3
8 cba
a
bca
a
++
≥
+
⇔ 
 Tương tự 
( ) 222
2
2
3
3
3
8 cba
b
cab
b
++
≥
+
 ; 
( ) 222
2
2
3
3
3
8 cba
c
abc
c
++
≥
+
( ) ( ) ( )
1
888
222
222
2
3
3
3
2
3
3
3
2
3
3
3
=
++
++≥
+
+
+
+
+
⇒
cba
cba
abc
c
cab
b
bca
a
 Từ b.đ.t này ta đặt 232323 ;; zcybxa === , thì 
 1
888 222
≥
+
+
+
+
+ xyz
z
zxy
y
yzx
x
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0>== zyx . 
 Bài toán được chứng minh 
 Ngoài ra khi sử dụng b.đ.t (*) còn cho ta b.đ.t kép chặt hơn bài toán b.đ.t thi 
quốc tế IMO-42 như sau: 
 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 3 - 
 Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng 
 ≥
+
+
+
+
+ xyz
z
zxy
y
yzx
x
888 222
 1
3
3
2
3
2
2
3
3
2
3
2
2
3
3
2
3
2
2
≥








++
+








++
+








++
≥
yxz
z
xzy
y
zyx
x
 Bạn đọc tự chứng minh kết quả này. 
 2-Sử dụng bất đẳng thức (*) để sáng tạo các bài toán bất đẳng thức 
 Tất cả các kết quả dưới đây đều được sinh ra từ b.đ.t (*) và đều có cùng giải 
thiết a,b,c là ba số thực dương, riêng các kết quả từ 30 đến 39, từng kết quả đều có 
sự bổ xung giả thiết để được những bài toán đúng. 
 Kết quả 1: 
 ( ) ( ) ( ) 133
3
33
3
33
3
≥
++
+
++
+
++ bac
c
acb
b
cba
a
 Chứng minh 
 Từ b.đ.t (*): ( ) ( ) ⇔++≥++ 342222 cbaacba 
 ( ) ( ) ( ) 222
2
33
3
222233
1
cba
a
cba
a
cba
a
cba ++
≥
++
⇔
++
≥
++
⇔ 
 Tương tự ( ) 222
2
33
3
cba
b
acb
b
++
≥
++
 , ( ) 222
2
33
3
cba
c
bac
c
++
≥
++
 Cộng vế với vế ba b.đ.t trên sẽ được 
 ( ) ( ) ( ) 1222
222
33
3
33
3
33
3
=
++
++≥
++
+
++
+
++ cba
cba
bac
c
acb
b
cba
a
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. Kết quả 1 được chứng minh 
 Kết quả 2: 
 ( ) ( ) ( )
3 2223 33
5
3 33
5
3 33
5
cba
bac
c
acb
b
cba
a
++≥
++
+
++
+
++
 Chứng minh 
 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 4 - 
 Từ b.đ.t (*): ( ) ( ) ( ) ( )32222
2
3 33
5
34222
cba
a
cba
a
cbaacba
++
≥
++
⇔++≥++ 
 Tương tự ( ) ( )32222
2
3 33
5
cba
b
acb
b
++
≥
++
 , ( ) ( )32222
2
3 33
5
cba
c
bac
c
++
≥
++
 Cộng vế theo vế ba b.đ.t trên rồi rút gọn ta đươc bài toán cần chứng minh 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c . Kết quả 2 được chứng minh 
 Kết quả 3: 
 ( ) ( ) ( ) ( )222333 22 cbabacacbcba ++≤+++++ 
 Chứng minh 
 Từ b.đ.t (*): 
 ( ) ( ) ( )( ) ( )322222342222 2 cbacbcbacbaacba +≥+++⇔++≥++ 
 Tương tự 
 ( )( ) ( )322222 2 acbaccba +≥+++ ; ( )( ) ( )322222 2 bacbacba +≥+++ 
 Theo b.đ.t Bunyakovsky sẽ được 
 ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]≥+++++++++++++ 222222222222222 .222 baaccbcbacbacba 
 ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ≥+++++++++++≥ 2222222222222222 222 bacbaaccbacbcba 
 ( ) ( ) ( ) 2333



 +++++≥ bacacbcba 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 233322228 



 +++++≥++⇒ bacacbcbacba 
 ( ) ( ) ( ) ( )222333 22 cbabacacbcba ++≤+++++⇔ 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c . Kết quả 3 được chứng minh 
 Kết quả 4: 
 ( ) ( ) ( )
2
222333333 3
1111








++
++≥
++
+
++
+
++
=
cba
cba
bacacbcba
A 
 Chứng minh 
 Từ b.đ.t (*): ( ) ( ) ( ) 22233
342222 1
cba
a
cba
cbaacba
++
≥
++
⇔++≥++ 
 Tương tự ( ) ( ) cba
c
baccba
b
acb ++
≥
++++
≥
++ 223322233
1
;
1
 Theo b.đ.t Bunyakovsky thì 
 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 5 - 
 ( ) ( ) ( ) ( )
2
222
2
333333
111111 






++
++≥








++
+
++
+
++
≥++
cba
cba
bacacbcba
A 
2
2223
1








++
++≥⇒
cba
cbaA 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c . 
 Kết quả 4 được chứng minh 
 Kết quả 5: 
 ( ) ( ) ( )
2
222333333 3
1






++
++≥
++
+
++
+
++
=
cba
cba
bac
c
acb
b
cba
aB 
 Chứng minh 
 Từ b.đ.t (*): ( ) ( ) ( ) 22233
342222
cba
a
cba
a
cbaacba
++
≥
++
⇔++≥++ 
 Tương tự ( ) 22233 cba
b
acb
b
++
≥
++
 , ( ) 22233 cba
c
bac
c
++
≥
++
 Theo b.đ.t Bunyakovsky thì 
 ( ) ( ) ( ) ( )
2
222
2
333333111 





++
++≥





++
+
++
+
++
≥++
cba
cba
bac
c
acb
b
cba
aB 
2
2223
1






++
++≥⇒
cba
cbaB 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c . Kết quả 5 được chứng minh 
 Kết quả 6: 
 ( ) ( ) ( ) cbabac
c
acb
b
cba
aC
++
≥
++
+
++
+
++
=
1
33
2
33
2
33
2
 Chứng minh: 
 Từ b.đ.t (*): ( ) ( ) ( ) 222
2
33
3
342222
cba
a
cba
a
cbaacba
++
≥
++
⇔++≥++ 
 Tương tự ( ) 222
2
33
3
cba
b
acb
b
++
≥
++
 , ( ) 222
2
33
3
cba
c
bac
c
++
≥
++
 Theo b.đ.t Bunyakovsky thì: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 1.
2
222
222
2
33
3
33
3
33
3
=





++
++≥








++
+
++
+
++
≥++
cba
cba
bac
c
acb
b
cba
aCcba 
 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 6 - 
 





++
≥⇒
cba
C 1 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c . Kết quả 6 được chứng minh. 
 Kết quả 7: 
 ( ) ( ) ( ) 3
1
33
3
33
3
33
3
≥
++
+
++
+
++
=
bac
c
acb
b
cba
aD 
 Chứng minh: 
 Từ b. đ.t (*): ( ) ( ) ( ) 222
2
33
3
342222
cba
a
cba
a
cbaacba
++
≥
++
⇔++≥++ 
 Tương tự ( ) 222
2
33
3
cba
b
acb
b
++
≥
++
 , ( ) 222
2
33
3
cba
c
bac
c
++
≥
++
 Theo b.đ.t Bunyakovsky thì 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 1111
2
222
222
2
33
3
33
3
33
3
=





++
++≥








++
+
++
+
++
≥++
cba
cba
bac
c
acb
b
cba
aD 
3
1≥⇒ D 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c . Kết quả 7 được chứng minh 
 Kết quả 8: 
 Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) 1223
22
223
22
223
22
≥
+−+
+
+
+−+
+
+
+−+
+
=
bacba
bac
acbac
acb
cbacb
cbaE 
 Chứng minh 
 Từ b.đ.t (*): ( ) ( ) ( )( ) ( )322222342222 2 cbacbcbacbaacba +≥+++⇔++≥++ 
 ( ) ( ) ( ) ( )22
2223
222
22
3
2222
cb
cbacba
cba
cb
cba
cba
+
+−+≥++⇔
+
+≥++⇔ 
 Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00, 2223223222 >+−+⇔>+−+⇒+>+>+ cbacbacbacbcbcbacb 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) 222
2
223
22
222223
22
cba
a
cbacb
cba
cba
a
cbacb
cb
++
≥
+−+
+
⇔
++
≥
+−+
+
⇒ 
 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 7 - 
 Tương tự ( )( ) ( ) 222
2
223
22
cba
b
acbac
acb
++
≥
+−+
+
 , 
( )
( ) ( ) 222
2
223
22
cba
c
bacba
bac
++
≥
+−+
+
 Cộng vế với vế tương ứng của ba b.đ.t trên ta được 
 1222
222
=
++
++≥
cba
cbaE 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c, khi đó tam giác đã cho là tam giác đều. 
 Kết quả 8 được chứng minh 
 Kết quả 9: 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) 2
1
2223
222
2223
222
2223
222
≥
+++
+
+
+++
+
+
+++
+
=
babac
baz
acacb
acy
cbcba
cbxF 
 Trong đó (x,y,z) là một hoán vị tùy ý của (a,b,c) 
 Chứng minh : 
 Từ b.đ.t (*): ( ) ( ) ( )( ) ( )322222342222 2 cbacbcbacbaacba +≥+++⇔++≥++ 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
2223
222
22
3
222 22
cb
cbcba
cba
cb
cba
cba
+
+++≥++⇔
+
+≥++⇔ 
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )222
2
2223
222
2222223
22
22
1
cba
x
cbcba
cbx
cbacbcba
cb
++
≥
+++
+
⇔
++
≥
+++
+
⇔ 
 Tương tự 
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )222
2
2223
222
222
2
2223
222
2
;
2 cba
z
babac
baz
cba
y
acacb
acy
++
≥
+++
+
++
≥
+++
+
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )222
222
2223
222
2223
222
2223
222
2 cba
zyx
babac
baz
acacb
acy
cbcba
cbxF
++
++≥
+++
+
+
+++
+
+
+++
+
=⇒ 
 Vì (x,y,z) là một hoán vị tùy ý của (a,b,c) nên 
2
1222222 ≥⇒++=++ Fcbazyx 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c . Kết quả 9 được chứng minh 
 Như vậy thông qua các kết quả trên, độc giả thấy b.đ.t (*) đã có tác dụng 
không nhỏ trong việc làm cầu nối để chứng minh và sáng tạo ra nhiều bài toán b.đ.t 
hay,đẹp.Tôi xin dừng phép chứng minh các kết quả tiếp theo dưới đây, để dành 
phần chứng minh đó cho độc giả nào muốn khám phá. Có điều một số kết quả 
trong các kết quả này không dễ chứng minh, thậm chí rất khó chứng minh nếu như 
không sử dụng b.đ.t (*). 
 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 8 - 
 Kết quả 10: 
 ( )444222 cabcababccba ++≥++ 
 Kết quả 11: 
 ( ) ( ) ( ) 333333333
1111
cbabacacbcba ++
≥
++
+
++
+
++
 Kết quả 12: 
 ( ) ( ) ( )
3
222333333 3
1111






++
++≥
++
+
++
+
++ cba
cba
bacacbcba
 Kết quả 13: 
 ( ) ( ) ( ) ( )2222333333
111
cba
cba
bacacbcba ++
++≥
++
+
++
+
++
 Kết quả 14: 
 ( ) ( ) ( ) ( )( )2222333333 .
9111
cbacabcab
abc
bacacbcba ++++
≥
++
+
++
+
++
 Kết quả 15: 
 ( ) ( ) ( ) ( )222333333
1
cbabac
c
acb
b
cba
a
++
≥
++
+
++
+
++
 Kết quả 16: 
 ( ) ( ) ( )
( )
( )2222
3
33
2
33
2
33
2
9 cba
cba
bac
c
acb
b
cba
a
++
++≥
++
+
++
+
++
 Kết quả 17: 
 ( ) ( ) ( ) ( )2222
333
33
2
33
2
33
2
cba
cba
bac
c
acb
b
cba
a
++
++≥
++
+
++
+
++
 Kết quả 18: 
( )
( )2222333
9111
cba
cba
cba ++
++≥++ 
 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 9 - 
 Kết quả 19: 
 ( ) ( ) ( ) 8
3
3
3
3
3
3
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
 Kết quả 20: 
 ( ) ( ) ( ) cabcab
abc
bac
c
acb
b
cba
a
++
≥
++
+
++
+
++ 33
4
33
4
33
4
 Kết quả 21: 
 ( ) ( ) ( )
2
222
333
33
5
33
5
33
5
3
1






++
++≥
++
+
++
+
++ cba
cba
bac
c
acb
b
cba
a
 Kết quả 22: 
 ( ) ( ) ( ) ( )22233
5
33
5
33
5
9
1
cba
bac
c
acb
b
cba
a
++≥
++
+
++
+
++
 Kết quả 23: 
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 2
3222
3
222
3
222
3
222
≥
+
++
+
+
++
+
+
++
ba
cbac
ac
cbab
cb
cbaa
 Kết quả 24: 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) 12
2
2
2
2
2
2223
222
2223
222
2223
222
≥
++++
++
+
++++
++
+
++++
++
cbacba
cbac
cbabac
cbab
cbaacb
cbaa
 Kết quả 25: 
 ( ) ( ) ( ) 222333333 cba
cba
bac
c
acb
b
cba
a
++
++≥
++
+
++
+
++
 Kết quả 26: 
2
3
888 222
≥
−+
+
−+
+
−+ cabc
c
bcab
b
abca
a
 Kết quả 27: 
 ( ) ( ) ( ) 2
3
333
3
333
3
333
3
≥
−++
+
−++
+
−++ cbac
c
bacb
b
acba
a
 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 10 - 
 Kết quả 28: 
 abc
abc
c
cab
b
bca
a ≥
+
+
+
+
+ 727272 2
5
2
5
2
5
 Kết quả 29: 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2222223
22
2223
22
2223
22
2 cba
cba
babac
bac
acacb
acb
cbcba
cba
++
++≥
+++
+
+
+++
+
+
+++
+
 Kết quả 30: 
 ( ) ( ) ( ) αααα 81
3
33
3
33
3
33
3
+
≥
++
+
++
+
++ bac
c
acb
b
cba
a
 ( )1≥α 
 Kết quả 31: 
( ) ( ) ( )
1
888 2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
≥



 +
+



 +
+



 + abcc
z
cabb
y
bcaa
x
 Trong đó (x,y,z) là một hoán vị tùy ý của (a,b,c) 
 Kết quả 32: 
 ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 133
2
33
2
33
2
≥
++
+
++
+
++ bacc
z
acbb
y
cbaa
x
 Trong đó (x,y,z) là một hoán vị tùy ý của (a,b,c) 
 Kết quả 33: 
 Cho a,b,c > 1. Chứng minh rằng 
( )
( ) ( )33222
3
333
3
1
1
1
1
1
1
cbacba
cba
cba ++−++
++≥
−
+
−
+
−
 Kết quả 34: 
 Cho a,b,c > 1. Chứng minh rằng 
( )
( ) ( )cbacba
cba
cba ++−++
++≥
−
+
−
+
− 3
9
1
1
1
1
1
1
2222333
 Kết quả 35 : 
 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 11 - 
 Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 
 ( ) ( ) ( ) 7
3
33
3
33
3
33
3
≥
−+
+
−+
+
−+ cba
c
bac
b
acb
a
 Kết quả 36: 
 Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222223
22
223
22
223
22
cba
cba
bacba
ba
acbac
ac
cbacb
cb
++
++≥
+−+
+
+
+−+
+
+
+−+
+
 Kết quả 37: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác, αβα ≤≤≥ 0,1 . 
 Chứng minh rằng 
 ( ) ( ) ( ) βαβαβαβα −≥−++−++−+ 8
3
33
3
33
3
33
3
cba
c
bac
b
acb
a
 Kết quả 38: 
 ( ) ( ) ( ) βαβαβαβα +≥++++++++ 8
3
33
3
33
3
33
3
cba
c
bac
b
acb
a
 Trong đó αβα 40,1 ≤≤≥ 
 Kết quả 39: 
 Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn 1222 =++ cba . Chứng minh rằng 
 ( ) ( ) ( ) 223
9
1
1
1
1
1
1
333 +
≥
++
+
++
+
++ bacacbcba
 Lưu ý: Trong số những kết quả đưa ra ở trên (trừ kết quả 8,35,36,37), những 
kết quả nào có chứa biểu thức ( ) ( ) ( )333 ,, accbba +++ , theo thứ tự lần lượt thay bằng 
( ) ( ),4,4 cbbcbaab ++ ( )acca +4 hoặc theo thứ tự lần lượt thay bằng ( ) ( ) ( )232323 8,8,8 cabcab . 
Thì sẽ lại được những bài toán b.đ.t mới tương ứng nhưng không chặt so với bài 
toán b.đ.t trước khi chưa thay. 
 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 
Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 12 - 
 Tài liệu tham khảo 
[1] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho, 2003,40 năm OLYMPIC toán học quốc 
tế, Nhà xuất bản G.D 
[2] Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ, 2007, Bất đẳng thức suy luận và khám phá, Nhà 
xuất bản ĐHQG HN 
[3] Trần Phương, Trần Tuấn Anh, Nguyễn Anh Cường,2009, Những viên kim 
cương trong bất đẳng thức toán học, Nhà xuất bản Tri thức 
[4] Phạm Kim Hùng,2006,Sáng tạo bất đẳng thức,Nhà xuất bản Tri thức 
[5] Ngô Văn Thái, 2014, Phương pháp bất đẳng thức Chebyshev, Tạp chí Dạy 
và học ngày nay 
[6] Ngô Văn Thái, 2015,Phát triển mở rộng bất đẳng thức Nesbitt, đẳng thức 
Nesbitt, www.MATHVN.com 
[7] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Việt nam 
[8] Tạp chí Dạy và học ngày nay, Việt nam 
[9] www.MATHVN.com