Đề tuyển sinh vào lớp 10 Năm học 2003 – 2004 Môn toán

Đờ̀ tuyờ̉n sinh vào lớp 10
Năm học 2003 – 2004
Mụn toán
Bài 1 
Cho phương trình: 2x2 + (a – 1)x + 2a – 1 = 0
1. Giải phương trình với a = 0.
2. Khi a = 2 ta có nhọ̃n định phương trình có hai nghiợ̀m x1; x2 thỏa mãn x1 + x2 = -1/2 và x1.x2 = 3/2. Nhọ̃n định đó đúng hay sai? Vì sao?
Bài 2 
Cho đường thẳng d có phương trình: y = ax + b (a khác 0).
1. Tìm a, b đờ̉ đường thẳng đi qua hai điờ̉m: M(1; 5) và N(-1; -1).
2. Trong trường hợp a, b vừa tìm được thì điờ̉m P(3; 11) có thuụ̣c đường thẳng đó khụng? Vì sao?
Cõu 3 
Cho biờ̉u thức: với 
1. Rút gọn M.
2. Tìm a đờ̉ M có giá trị bằng 4.
3. Tìm giá trị a nguyờn đờ̉ M có giá trị nguyờn lớn hơn 10. Tìm giá trị nguyờn đó.
Cõu 4.
Cho đường tròn đường kính AB = 2R. Từ B kẻ tiờ́p tuyờ́n d với đường tròn. Gọi C là điờ̉m trờn cung AB; nụ́i AC kéo dài cắt d tại E.
1. Giả sử C là điờ̉m chính giữa cung AB. Chứng minh tam giác ABE vuụng cõn.
2. Giả sử C là điờ̉m bṍt kì trờn cung AB (C khụng trùng với A và B). Gọi D là điờ̉m bṍt kì trờn cung nhỏ BC (D khụng trùng với C và B). Nụ́i AD kéo dài cắt D tại F.
a) Chứng minh tứ giác CDEF nụ̣i tiờ́p đường tròn.
b) Chứng minh AC.AE = AD.AF = const.
Bài 5
Giải phương trình: x4 – 8x2 + x + 12 = 0.
Hướng dẫn: 
Bài 5: x4 – 8x2 + x + 12 = 0
Û (x2 – x – 3)(x2 – x – 4) = 0
Đờ̀ tuyờ̉n sinh vào lớp 10
Năm học 2004 – 2005
Mụn toán
Bài 1 (3 điờ̉m)
1. Tìm điờ̀u kiợ̀n xác định của các biờ̉u thức
2. Giải hợ̀ phương trình
Bài 2 (2,5 điờ̉m)
Cho phương trình: x2 + 2mx – 2m – 3 = 0
1. Giải phương trình với m = 1.
2. Chứng minh rằng phương trình có nghiợ̀m với mọi giá trị của m.
3. Tìm nghiợ̀m của phương trình khi tụ̉ng bình phương các nghiợ̀m nhọ̃n giá trị nhỏ nhṍt.
Cõu 3 (3 điờ̉m)
Cho tam giác ABC vuụng tại A; D là mụ̣t điờ̉m trờn AC; đường tròn đường kính DC cắt BC tại E; đường thẳng BD cắt đường tròn đường kính DC tại F.
Chứng minh rằng:
1. Tam giác ABC đụ̀ng dạng với tam giác EDC.
2. Tứ giác ABCF nụ̣i tiờ́p đường tròn.
3. AC là phõn giác của góc EAF.
Cõu 4. (1,5 điờ̉m)
1. Chứng minh rằng với mọi a, b.
2. Tìm nghiợ̀m nguyờn của phương trình: (y2 + 4)(x2 + y2) = 8xy2.
Hướng dẫn:
Cõu 4:
1. 
2. (y2 + 4)(x2 + y2) = 8xy2
Û (xy – 2y)2 + (y2 – 2x)2 = 0
Do đú cú cỏc nghiệm: (0; 0); (2; 2); (2; -2)
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH NINH BèNH
Năm học 2005 – 2006
Mụn thi: Toỏn
Thời gian làm bài: 150 phỳt
Cõu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số bậc nhất: y = 2x + b (1)
a) Hàm số đó cho đồng biến hay nghịch biến trờn R? Giải thớch?
b) Biết rằng đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1; 3). Tỡm b và vẽ đồ thị của hàm số (1).
Cõu 2: (2,0 điểm) Cho biểu thức 
a) Tỡm tập xỏc định và rỳt gọn biểu thức A.
b) Tỡm cỏc số nguyờn tố a để giỏ trị biểu thức A là một số nguyờn.
Cõu 3: (2,0 điểm)
Một thửa ruộng hỡnh chữ nhật cú diện tớch bằnd 100 m2. Tớnh độ dài cỏc cạnh của thửa ruộng. Biết nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lờn 2m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5m thỡ diện tớch thửa ruộng sẽ tăng thờm 5m2.
Cõu 4: (3,0 điểm)
Cho đường trũn (O; R). Từ một điểm P ở ngoài đường trũn kẻ hai tiếp tuyến phõn biệt PA, PC (A, C là cỏc tiếp điểm; PA > R) với đường trũn (O).
a) Chứng minh tứ giỏc PAOC nội tiếp được một đường trũn.
b) Tia AO cắt đường trũn (O) tại B; đường thẳng qua P và song song với AB cắt BC tại D. Tứ giỏc AODP là hỡnh gỡ? Chứng minh.
c) Gọi I là giao điểm của OC và PD; J là giao điểm của PC và DO; K là trung điểm của AD. Chứng minh I; J; K thẳng hàng.
Cõu 5: (1,0 điểm)
Cho hai số dương x, y cú tổng bằng 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
Cõu 4:
Hỡnh vẽ: 
a) Dễ quỏ rồi.
b) Chứng minh tứ giỏc BOPD là hỡnh bỡnh hành suy ra tứ giỏc OAPD là hỡnh chữ nhật.
c) J là giao điểm hai đường cao trong tam giỏc OIP nờn J là trực tõm.
K là trung điểm AD nờn K là trung điểm OP.
Chứng minh tam giỏc OPI cõn suy ra IK là đường cao nờn đi qua trực tõm J hay I, J, K thẳng hàng.
Cõu 5: 
Ta cú: x+y=1 suy ra: 
Mặt khỏc 
Từ (*) và (**) suy ra Do đú: Dấu bằng xảy ra khi x=y=0,5.
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 9 khi x = y = 0,5
Đề thi vào 10
Năm học 2006 – 2007
Bài 1: (2 đ)
Cho phương trình bậc hai: x2 – x – 3a – 1 = 0 (có ẩn là x)
Tìm a để phương trình nhận x = 1 là nghiệm?
Bài 2: (4 đ)
Cho biểu thức
Rút gọn A với x ≥ 3
Tính giá trị của A khi x = 
Bài 3: (4 đ)
Cho hàm số y = mx2 
Xác định m, biết đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = –3x + 2 tại điểm M có hoành độ bằng 2
Với m tìm được ở câu a, chứng minh rằng khi đó đồ thị hàm số và đường thẳng d có phương trình y = kx – 1 luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi giá thị của k
Gọi x1; x2 tương ứng là hoành độ của A và B. Chứng minh rằng 
Bài 4: (7 đ)
Cho đường tròn (O; R). Điểm M nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến MC, MD (C, D là các tiếp điểm) và cát tuyến MAB đi qua tâm O của đưòng tròn (A ở giữa M và B)
Chứng minh: MC2 =MA.MB
Gọi K là giao điểm của BD và CA. Chứng minh 4 điểm B, C, M, K cùng thuộc một đường tròn 
Tính độ dài MK theo R khi 
Bài 5: (1,5 đ)
Tìm a, b hữu tỉ để phương trình x² + ax + b = 0 nhận x = là nghiệm.
Bài 6: (1,5 đ)
Tìm x, y nguyên thoả mãn phương trình x + x² + x³ = 4y + 4y²
------Hết------
Hướng dẫn:
Bài 5:
Phương trình x² + ax + b = 0 nhận x = là nghiệm 
Bài 6.
x + x² + x³ = 4y + 4y² (x + 1)(x²+1) = (1 + 2y)² (1)
Đặt (x + 1; x² + 1) = d (d N*)
Ta có x + 1 d x² + x d (x² + x) – (x² + 1) d x – 1 d 
(x + 1) – (x – 1) d 2 d (2)
Từ (1) ta có x + 1 và x²+1 đều là số lẻ (3)
Từ (2) và (3) ta có d = 1 (4)
Đề thi vào cấp III
Năm học 2007 – 2008
(Thời gian 120 phút)
Bài 1: (3 đ)
1. Giải các phương trình và hệ phương trình
a. 2x – 2 = 0
b. x² – 7x + 6 = 0
c. 
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a. với x > 0; y > 0; x y
b. 
c. 
Bài 2: (2 đ)
Cho hai đường thẳng có phương trình: y = mx – 2 (d1) và 3x + my = 5 (d2)
Khi m =2, xác định hệ số góc và tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.
Khi (d1) và (d2) cắt nhau tại M(x0; y0), tìm m để x0 + y0 = 1 - 
Tìm m để giao điểm của (d1) và (d2) có hoành độ dương còn tung độ thì âm.
Bài 3: (3 đ)
 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C, D (C thuộc cung AD) sao cho CD = R. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt AB ở M. Tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt CD lần lượt tại E và F, AC cắt BD ở K.
Chứng minh rằng tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF là tam giác vuông.
Xác định tâm và bán kính đường trón ngoại tiếp tam giác KCD.
Tìm vị trí của dây CD sao cho diện tích tam giác KAB lớn nhất.
Bài 4: (1 đ)
 Hai máy bơm cùng bơm nước vào một cái bể cạn (không có nước), sau 4 giờ thì bể đầy. Biết rằng nếu để máy thứ nhất bơm được một nửa bể, sau đó máy thứ hai bơm tiếp (không dùng máy thứ nhất nữa) thì sau 9 giờ bể sẽ đầy. Hỏi nếu mỗi máy bơm riêng thì mất thời gian bao lâu sẽ đầy bể nước.
Bài 5: (1 đ)
Tìm các số hữu tỉ x và y sao cho 
Hướng dẫn
Bài 2:
c. 
Bài 3: 
b. (Góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Tứ giác OCID nội tiếp ID = OD.tg300 = 
c. KCDKBA
 lớn nhất lớn nhất KH lớn nhất H là điểm chính giữa cung lớn CD của đường tròn ngoại tiếp tam giác KCD KCD cân KBA cân CD//AB
Bài 5
hữu tỉ
Đặt = m với m Q thay vào (1) ta có:
(vì theo (*) thì x > y)
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009
Môn toán
Thời gian: 120 phút
Câu 1: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: 2x + 4 = 0
2. Giải hệ phương trình sau: 
3. Cho phương trình ẩn x sau: x2 – 6x + m +1 = 0
a) Giải phương trình khi m = 7.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: .
Câu 2: (1,5 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau:
1. 
2. 
3. C = 
Câu 3: (2,0 điểm)
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 300m. Tính diện tích của thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 3 lần và chiều rộng tăng gấp 2 lần thì chu vi của thửa ruộng không thay đổi.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng d cố định không giao nhau. Từ điểm M thuộc d, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O; R) (A, B là các tiếp điểm).
1. Gọi I là giao điểm của MO và cung nhỏ AB của đường tròn. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
2. Cho biết MA = R, tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi hai tiếp tuyến MA, MB và cung nhỏ AB của đường tròn (O; R).
3. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên d thì đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: (1,5 điểm)
1. Cho . Chứng minh rằng A = 4.
2. Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng .
3. Tìm a ẻ N để phương trình x2 – a2x + a + 1 = 0 có nghiệm nguyên.
Hướng dẫn
Bài 1: 
1) x = -2
2) (x; y) = (2; 2)
3) a) x1 = 2; x2 = 4
b) m = 4
Bài 2: 
a) 
b) 
c) 
Bài 3: Diện tớch khu vườn: 5400 m2
Bài 4:
b) SAOBM = R2
ị S = 
c) Kẻ OH ^ d, gọi giao điểm của AB và OH là N, giao điểm của AB và OM là P.
Tứ giỏc HMPN nội tiếp nờn ON.OH = OP.OM = R2
Do đú N là điểm cố định mà AB luụn đi qua.
Bài 5:
Tương tự suy ra điều phải chứng minh.
Cõu 5: 3) Ta cú: 
Để phương trỡnh cú nghiệm nguyờn thỡ delta phải là số chớnh phương.
Đặt:  với k là số nguyờn. Kết hợp với điều kiện a là số tự nhiờn ta cú: 
Kiểm tra với a= 2 ta cú delta bằng 4 (thỏa món)
* Với a > 2
Xột hiệu: 
Suy ra: 
Mặt khỏc  
Do đú: 
Giữa hai số chớnh phương liờn tiếp khụng cú số chớnh phương nào nờn  khụng là số chớnh phương khi a>2.
KL: a = 2.