Đề thi violympic toán 8 năm học: 2015 - 2016 (thời gian làm bài 120 phút)

TRƯỜNG THCS KIM THƯ ĐỀ THI VIOLYMPIC TOÁN 8
 Năm học: 2015-2016
 (thời gian làm bài 120 phút)
Bài I: ( 5 điểm)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+ b+c = 3 và 1a + 1b + 1c = 0. Tính giá trị của a2 + b2 + c2.
Giải phương trình sau: 124x3 + 9x2 – 27x +27 =0.
Bài II: ( 4 điểm)
Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì n5 + 5n3 – 6n chia hết cho 30.
Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x2 +2y2 +2xy +y -2 =0.
Bài III: ( 3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 4x4 – 3x2 + 14x2 + 2015.
Bài IV: ( 6 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE.
Chứng minh: AE.AB= AD.AC;
Chứng minh: ADE=ABC và AED= ACB;
Biết A = 600, SABC= 120 cm2. Tính SADE.
Bài V: (2 điểm) Giải phương trình sau: x-32013 + x-22013 = 1.
--Hết--
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài 
Nội Dung
Điểm
Bài I. Phần 1 
3 đ
Ta có 1a + 1b + 1c = 0 ó bc + ac +ababc = 0 ó bc + ac +ab = 0
 a + b + c = 3 ó a2 + b2 + c2 + 2( bc + ac +ab) = 9
mà bc + ac +ab =0 do đó a2 + b2 +c2 = 9.
1 đ
1đ
1đ
Bài I.
Phần 2
2đ
 124x3 + 9x2 – 27x +27 =0
ó 125x3 – x3+ 9x2 -27x +27 = 0
ó (5x)3 = x3 - 9x2 + 27x – 27
ó (5x)3 = (x – 3)3
ó 5x = x – 3
ó x = -34
Vậy S= { -34 }
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài II.
Phần 1
2đ
Đặt B= n5 + 5n3 – 6n = n( n4 +5n2 -6) = n(n2 – 1)(n2 +6)
= n(n -1)(n+1)( n2 +6)
*Ta có n(n-1)(n+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 mà (2;3) =1 nên chia hết cho 6 (1)
* Xét n = 5k ( k ∈ Z) thì B chia hết cho 5
 Xét n = 5k1 + 1 ( k1 ∈ Z) thì n – 1 chia hết cho 5 do đó B chia hết cho 5
 Xét n = 5k2 + 2 ( k2 ∈ Z) thì n2 + 6 chia hết cho 5 do đó B chia hết cho 5
 Xét n = 5k3 +3 ( k3 ∈ Z) thì n2 +6 chia hết cho 5 do đó B chia hết cho 5
 Xét n = 5k4 +4 ( k4 ∈ Z) thì n +1 chia hết cho 5 do đó B chia hết cho 5
Nên với mọi số nguyên n thì B chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) và (5;6) = 1 nên B chia hết cho 30.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài II
Phần 2
2đ
 x2 +2y2 +2xy +y -2 =0
ó ( x + y )2 + y2 +y – 2 = 0
ó (x +y)2 = - ( y2 + y -2)
Do (x +y)2 ≥ 0 nên - ( y2 + y -2) ≥ 0
Hay y2 + y -2 ≤ 0 ó ( y -1)( y+2) ≤ 0 ó -2 ≤ y ≤ 1
Mà y ∈ Z nên y ∈ { -2; -1; 0; 1}
Với y = -2 thì x = -2 ( thỏa mãn)
Với y = -1 thì x không là số nguyên
Với y = 0 thì x không là số nguyên
Với y= 1 thì x= -1( thỏa mãn)
Vậy (x;y)= (-2;-2); (-1;1)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài III
3đ
Đặt C = 4x4 – 3x2 + 14x2 +2015
 C = ( 4x4 – 4x2 +1) + x2 -1 + 14x2 +2015
 C = (2x2 – 1)2 + ( x - 12x )2 + 2015
 Do (2x2 -1 )2 ≥ 0 và ( x - 12x)2 ≥ 0 với mọi giá trị của x
Nên A ≥ 2015. Dấu bằng sảy ra ó 2x2-1=0x-12x=0 
ó 2x2 = 1 ó x = ±12.
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2015. Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi x = ±12.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài IV
6đ
Vẽ hình đến câu a A
 D
 E 
 B C
Xét ∆ADB và ∆AEC có 
D = E = 900( giả thiết)
 A chung.
 Do đó ∆ADB ~ ∆AEC(g.g), 
suy ra ADAE = ABAC do đó AE.AB= AD.AC.
b)
Do ADAE = ABAC nên ADAB= AEAC.
 Xét ∆ADE và ∆ABC có
A chung
 ADAB= AEAC ( chứng minh trên).
Do đó ∆ADE ~ ∆ABC(c.g.c), suy ra:
 ADE = ABC và AED=ACE
Do ∆ADE ~ ∆ABC ( theo câu b), nên
SADESABC = ( ADAB)2, suy ra SADE = (ADAB)2.SABC (*)
Do A = 600 ( giả thiết), vì thế trong tam giác vuông ADB, ta có ABD = 300 suy ra AD = 12AB hay là ADAB= 12.
Lại có SABC = 120 cm2, vì vậy từ (*), ta được :
 SADE = (12 )2.120 = 30 (cm2).
Vậy diện tích của tam giác ADE bằng 30 cm2.
0,5đ
1đ
0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
1đ
1đ
1đ
Bài V
2 đ
Xét x -3 + x -2 =1 (3)
Ta có x= 3 và x= 2 là nghiệm của phương trình
Nếu x > 3 thì x – 2 > 1 => x -22013 > 1 còn x -3 > 0. Vế trái > 1
Nếu x 1 nên x -32013 >1 còn
 x -22013 > 0. Vế trái > 1.
Nếu 2 < x < 3 thì x-3 = 3 – x ; x-2 = x – 2 suy ra
 0 < 3 – x < 1 và 0 < x- 2 < 1 nên ta có :
 x-32013 = (3- x)2013 < 3 – x.
 x-22013 = ( x – 2)2013 < x – 2
Do đó x-32013 + x-22013 < 3 – x + x – 2 = 1.
Vậy S = { 2; 3}.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ