Đề thi tuyển sinh vào trường trung học phổ thông chuyên năm 2015 môn thi : Toán (dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)

Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội	Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào trường trung học phổ thông chuyên năm 2015
Môn thi : Toán 
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút 
Cõu 1 (2.5 điểm ) Cho biểu thức với a>0 , b>0 a 
1 Chứng minh 
2 Giả sử a, b thay đổi sao cho . Tỡm min P
Cõu 2 ( 2 điểm ) cho hệ phương trỡnh.
Với m là tham số 
1 Giải phương trỡnh khi m = 2
2. Chứng minh hệ luụn cú nghiệm với mọi giỏ trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ phương trỡnh .chứng minh đẳng thức 
Cõu 3 ( 1.5điểm )
 Cho a, b là cỏc số thực khỏc o . Biết rằng phương trỡnh 
 Cú nghiệm duy nhất . Chứng minh 
Cõu 4. ( 3điểm ) Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc ABC và gúc ACB nhọn gúc BAC = 600 . Cỏc đường phõn giỏc trong BB1, CC1 của tam giỏc ABC cắt nhau tại I.
1. Chứng minh tứ giỏc AB1IC1 nội tiếp .
2. Gọi K là giao điểm thứ hai khỏc B của đường thẳng BC với đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BC1I . Chứng minh tứ giỏc CKIB1 nội tiếp 
2 Chứng minh 
 Cõu 5 ( 1 điểm) . Tỡm cỏc số thực khụng õm a và b thỏa món
Bộ giáo dục đào tạo	 cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội	 Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2015
Môn thi: TOÁN
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút 
Cõu 1: (2,5 điểm)
1. Cho a ≥ 0, a # 1. Rỳt gọn biểu thức
2. Cho x,y thỏa món 0< x <1, 0 < y <1 và
 Tỡm giỏ trị của biểu thức 
Cõu 2: (2 điểm)
Một xe tải cú chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cỏi cổng cú hỡnh parabol. Biết khoảng cỏch giữa hai chõn cổng là 4m và khoảng cỏch từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chõn cổng là m (bỏ qua độ dầy của cổng)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) với a < 0 là hỡnh biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1
2. Hỏi xe tải cú thể qua cổng được khụng? Tại sao?
Cõu 3: (1,5 điểm)
Cho 2 số nguyờn a,b thỏa món 
Chứng minh a và b là hai số chớnh phương liờn tiếp.
Cõu 4: (3 điểm)
Cho tam giỏc nhọn ABC (AB<AC). M là trung điểm của cạnh BC. O là tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc. Cỏc đường cao AD, BE, CF của tam giỏc ABC đồng quy tại H. Cỏc tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S. Gọi X,Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng ẩ với cỏc đường thẳng BS,AO. Chứng minh rằng:
1. 
2. Hai tam giỏc SMX và DHF đồng dạng
3. 
Cõu 5: (1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú cỏc đỉnh là cỏc điểm nguyờn (một điểm được gọi là điểm nguyờn nếu hoành độ và tung độ của điểm đú là cỏc số nguyờn).
Chứng minh rằng hai lần diện tớch của tam giỏc ABC là một số nguyờn.
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
HƯỚNG DẪN THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYấN NĂM 2015
Mụn thi :TOÁN
( Dựng cho mọi thớ sinh vào trường chuyờn )
Cõu 1 (2.5 điểm ) Cho biểu thức với a>0 , b>0 a 
1 Chứng minh 
2 Giả sử a, b thay đổi sao cho . Tỡm min P
Hướng dẫn
1)
2) Áp dụng bất đẳng thức Cụsi ta cú 
Min(P)=25 khi b = 4a và 1 = 25ab suy ra 1 = 100a2 suy ra 
Cõu 2 ( 2 điểm ) cho hệ phương trỡnh.
Với m là tham số 
1 Giải phương trỡnh khi m = 2
2. Chứng minh hệ luụn cú nghiệm với mọi giỏ trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ phương trỡnh .chứng minh đẳng thức 
Hướng dẫn
1)Thay m = 2 ta cú
2) 
Vỡ m2 +1 khỏc 0 phương trỡnh cú nghiệm duy nhất với mọi m
3) Thay 
Ta cú
Cỏch khỏc
Thay ta đươc . 
Cõu 3 ( 1.5điểm )
 Cho a, b là cỏc số thực khỏc 0 . Biết rằng phương trỡnh 
 Cú nghiệm duy nhất . Chứng minh 
Hướng dẫn
Nếu a + b = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x = 0.
Nếu a + b ta cú
Nếu a và b khỏc dấu thỡ phương trỡnh cú nghiệm với mọi m
Nếu a và b cựng dấu thỡ phương trỡnh vụ nghiệm 
Phương trỡnh cú nghiệm duy nhất khi a và b khỏc dấu và suy ra .
Cõu 4. ( 3điểm ) Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc ABC và gúc ACB nhọn gúc BAC = 600 . Cỏc đường phõn giỏc trong BB1, CC1 của tam giỏc ABC cắt nhau tại I.
1> Chứng minh tứ giỏc AB1IC1 nội tiếp .
2. Gọi K là giao điểm thứ hai khỏc B của đường thẳng BC với đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BC1I . Chứng minh tứ giỏc CKIB1 nội tiếp 
2 Chứng minh 
Hướng dẫn
1. Ta cú . Mà hai gúc này đối nhau 
Nờn tứ giỏc AB1IC1 nội tiếp (đpcm).
2. Vỡ tứ giỏc BC1IK nội tiếp nờn ( gúc nội tiếp cựng chắn )
Và ( gúc nội tiếp cựng chắn )
Xột tam giỏc ABC: 
Xột tam giỏc BC1K: 
Suy ra Tứ giỏc CKIB1 nội tiếp (đpcm).
3. Vỡ Tứ giỏc ACKC1 nội tiếp (cựng chắn cung KC1)
Và (cựng chắn cung AC1). Mà (GT)
Suy ra Tam giỏc C1AK cõn tại C1C1A = C1K (1)
CMTT: B1A = B1K (2)
Từ (1), (2) suy ra B1C1 là đường trung trực của AK nờn AK B1C1 (đpcm
 Cõu 5 ( 1 điểm) . Tỡm cỏc số thực khụng õm a và b thỏa món
Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức Cụsi 
Dấu bằng xảy ra khi a= b = 
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
HƯỚNG DẪN THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYấN NĂM 2015
Mụn thi :TOÁN VềNG II
( Dựng cho thớ sinh thi chuyờn Toỏn ,Tin )
Cõu 1: (2,5 điểm)
1. Cho a ≥ 0, a 1. Rỳt gọn biểu thức
2. Cho x,y thỏa món 0< x <1, 0 < y <1 và
 Tỡm giỏ trị của biểu thức 
Hướng dẫn
1)
2)Ta cú .
Thay Ta cú 
Nếu xy>1/3 Thỡ P = 3xy
Nếu xy 1/3 thỡ P = 1
Cõu 2: (2 điểm)
Một xe tải cú chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cỏi cổng cú hỡnh Parabol. Biết khoảng cỏch giữa hai chõn cổng là 4m và khoảng cỏch từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chõn cổng là m (bỏ qua độ dầy của cổng)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi Parabol (P) với a < 0 là hỡnh biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1
2. Hỏi xe tải cú thể qua cổng được khụng? Tại sao?
Hướng dẫn
1. Áp dụng định lý py ta go Vào HGO ta cú OH2 = OG2 – GH2 = 
OH = 4 /y/ = 4 thay x = 2 
 4 = /a/4 suy ra a= -1 Vỡ a<0 ta được y = - x2 
2. Thay x= 1.2 ta cú y = 1.44 
Khoảng cỏch cũn lại 4- 1.44 = 2.56 thỡ ụ tụ đi qua được 
Cõu 3: (1,5 điểm)
Cho 2 số nguyờn a,b thỏa món 
Chứng minh a và b là hai số chớnh phương liờn tiếp.
Hướng dẫn
4a là số chớnh phương suy ra a là số chớnh phương a = x2 (x là số nguyờn)
Vậy a và b là hai số chớnh phương liờn tiếp
Cõu 4: (3 điểm)
Cho tam giỏc nhọn ABC (AB<AC). M là trung điểm của cạnh BC. O là tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc. Cỏc đường cao AD, BE, CF của tam giỏc ABC đồng quy tại H. Cỏc tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S. Gọi X,Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với cỏc đường thẳng BS,AO. Chứng minh rằng:
1. 
2. Hai tam giỏc SMX và DHF đồng dạng
3. 
Hướng dẫn
1).Ta cú BFC = BEC = 900 ( vỡ BE và CF là hai đường cao )
 Áp dụng quỹ tớch cung chứa gúc ta cú tứ giỏc BFEC nội tiếp.
 ECB = BFC 
 Ta cỳ BFC = XBE ( cựng chắn cung AB) 
 XFB= XBC 
XBF cõn XF = XB (1)
 Trong tam giỏc vuụng BFC cú FM là trung tuyến ( vỡ MB = MC )
 MF = MB (2) 
Từ (1) , (2) ta cỳúXM là trung trực BF 
Vậy . 
 2) xột DFA và SXM cú SXM = DFH ( vỡ FXB = BFD = ECB )
 Ta cú BSM = 900 - SBC 
 ACF = 900 - ABC = 900 - FDH ( vỡ FDH = FCA cựng chắn cung AF)
 BAC = SBC ( vỡ cựng chắn cung BC)
 FDH = XSB. Vậy Hai tam giỏc SMX và DHF đồng dạng
c) Xột AEB và AFC cú BAC chung 
 AFC = AEB = 900
AEB đồng dạng AFCsuy ra (3)
Xột FAY và DAC cú AFY = ACD ( vỡ tứ giỏc BFEC nội tiếp )
 AYF = ADC = 900 
FAY đồng dạngCAD
 (4)
 Từ (3), (4) 
Cõu 5: (1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú cỏ c đỉnh là cỏc điểm nguyờn (một điểm được gọi là điểm nguyờn nếu hoành độ và tung độ của điểm đỳ là cỏc số nguyờn).
Chứng minh rằng hai lần diện tớch của tam giỏc ABC là một số nguyờn
Đặt A(x2,y2). B(x3,y3). C(x1,y1) Thỡ P cỳ hoành độ là x1 . D cú hoành độ x2, N cỳ hoành độ là x3. R cú tung độ y2 . S cú tung độ là y1. T cú tung độ là y3.
 SABC = SCBNP- SABND- SADPC 
 2 SABC = x1(y2-y1) + y3(x2-x1)
Vỡ cỏc tọa độ là cỏc số nguyờn vậy diện tớch hai lần diện tớch tam giỏc ABC là số nguyờn
Nguyễn Minh Sang THCS Lõm Thao-Phỳ Thọ