Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
LÀO CAI NĂM HỌC 2021 - 2022 
 Đề chính thức 
 Môn: TOÁN ( CHUNG) (30/5/2021) 
 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) 
 Tên: TRƢƠNG QUANG AN 
 Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi 
 Điện thoại : 0353276871. 
Câu 1 (1,0 điểm).Tính giá trị các biểu thức sau: 
a) 49 3A   
b) (10 5) 5B    
Câu 2 (1,5 điểm)Cho biểu thức 
2 4
: ; 0; 4
2 2 2
x x
P x x
x x x
  
        
a) Rút gọn biểu thức P. 
b) Tìm giá trị của x để 
1
6
P  
Câu 3 (1,0 điểm). 
a) Cho hàm số y =2 x+ b. Tìm b biết rằng đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 
điểmcó hoành độ bằng 3. 
b) Cho Parabol (P ): y= 2x và đƣờng thẳng ( d) y =(m+1)x +m+4 ( m là tham 
số).Tim điều kiện của tham số m đề d cắt ( P) tại hai điểm nằm về hai phia của trục 
tung. 
Câu 4 (1,5 diểm). 
a) Giải hệ phƣơng trình 
2 1
2
x y
x y
 

 
b) Hai ban An và Bình cùng may khẩu trang để ủng hộ đia phƣơng đang có dịch 
bệnh Covid-19, thì mất hai ngày mới hoàn thành công việc. Nếu chì có một mình 
bạn An làm việc trong 4 ngày rồi nghi và bạn Bình làm tiếp trong 1 ngày nữa thì 
hoàn thành công việc. Hỏi mỗi ngƣời làm riêng một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn 
thành công việc? 
Câu 5 (2,0 điểm). 
a) Giải phƣơng trình: 2 5 6 0x x   
b) Tìm các giá trị của tham số m để phƣơng trình: 2 2 0x mx m    có hai nghiệm 
1 2;x x thóa mãn: 1 2 2 5x x  
Câu 6 ( 1,0 điểm).Cho tam giác ABCvuông tại A, có độ dài các cạnh của tam giác 
thóa mãn hệ thức: 2 2( 3 1) ( 3 1) .BC AC AB AC    , hãy tính số đo góc ABC 
Câu 7 (2,0 điểm).Cho đƣờng tròn (O), từ điểm A nẳm ngoài đƣờng tròn kẻ đƣờng 
thẳng AO cắt đƣờng tròn (O ) tại B,C ( AB <AC ). Qua A kẻ đƣờng thẳng không 
đi qua tâm O cắt đƣờng tròn (O) tại D, E ( AD< AE). Đƣờng thẳng vuông góc với 
AB tại A cắt đƣờng thẳng CE tai F 
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp. 
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đƣờng tròn ( O). Chứng minh: DM 
 vuông góc với AC. 
c) Chứng minh: CE.CF +AD.AE = 2AC 
Lời giải 
Câu 1 (1,0 điểm).Tính giá trị các biểu thức sau: 
a) 49 3A   
b) (10 5) 5B    
Lời giải 
a) 49 3 4A    
b) (10 5) 5 10B     
Câu 2 (1,5 điểm)Cho biểu thức 
2 4
: ; 0; 4
2 2 2
x x
P x x
x x x
  
        
a) Rút gọn biểu thức P. 
b) Tìm giá trị của x để 
1
6
P  
Lời giải 
a) Rút gọn biểu thức 
2 4 1
:
2 2 2 2
x x
P
x x x x
  
        
b) Tìm giá trị của x để 
1 1
64
6 2
P x
x
   

Câu 3 (1,0 điểm). 
a) Cho hàm số y =2 x+ b. Tìm b biết rằng đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm 
có hoành độ bằng 3. 
b) Cho Parabol (P ): y= 2x và đƣờng thẳng ( d) y =(m+1)x +m+4 ( m là tham 
số).Tim điều kiện của tham số m đề d cắt ( P) tại hai điểm nằm về hai phia của trục 
tung. 
Lời giải 
a) y =2x +b đi qua điểm có tọa độ (3,0) thì 0 =2.3+b hay b=- 6 
b)Tọa độ giao điểm là nghiệm của phƣơng trình: 2x =(m+1)x +m+4 . Để ( P)cắt d 
tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phƣơng trình (1) có hai 
nghiệm trái dấu hay ac 4. Vậy m4 thì (P ) cắt d tại hai điểm nằm về 
hai phía của trục tung 
Câu 4 (1,5 diểm). 
a) Giải hệ phƣơng trình 
2 1
2
x y
x y
 

 
b) Hai ban An và Bình cùng may khẩu trang để ủng hộ đia phƣơng đang có dịch 
bệnh Covid-19, thì mất hai ngày mới hoàn thành công việc. Nếu chì có một mình 
bạn An làm việc trong 4 ngày rồi nghi và bạn Bình làm tiếp trong 1 ngày nữa thì 
hoàn thành công việc. Hỏi mỗi ngƣời làm riêng một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn 
thành công việc? 
Lời giải 
a) Giải hệ phƣơng trình 
2 1
1
2
x y
x y
x y
 
  
 
b) Gọi thời gian An làm riêng một mình thì hoàn thành công việc là 
x(ngày), (x4) . Gọi thời gian Bình làm riêng một mình thì hoàn thành công việc là 
y (ngày),y>1. Theo bài dễ dàng ta có hệ phƣơng trình: 
1 1 1
62
4 1 3
1
xx y
y
x y

  
 
  

. 
Câu 5 (2,0 điểm). 
a) Giải phƣơng trình: 2 5 6 0x x   
b) Tìm các giá trị của tham số m để phƣơng trình: 2 2 0x mx m    có hai nghiệm 
1 2;x x thóa mãn: 1 2 2 5x x  
Lời giải 
a) Giải phƣơng trình: 2
1
5 6 0
6
x
x x
x

      
b) Tìm các giá trị của tham số m để phƣơng trình: 2 2 0x mx m    có hai nghiệm 
1 2;x x thóa mãn: 1 2 2 5x x  
Ta có để phƣơng trình: 2 2 0x mx m    có hai nghiệm 
1 2;x x thì 
20 ( 2) 4 0m      đúng.Ta có 
2 2
1 2 1 2
6
2 5 ( ) 20 4 12 0
2
m
x x x x m m
m

            
Câu 6 ( 1,0 điểm).Cho tam giác ABCvuông tại A, có độ dài các cạnh của tam giác 
thóa mãn hệ thức: 2 2( 3 1) ( 3 1) .BC AC AB AC    , hãy tính số đo góc ABC 
Lời giải 
Áp dụng định lí Pytago ta có: 
2 2 2 2 2 2( 3 1) ( 3 1) .BC AC AB AC AB AC AB AC        
0( )( 3 ) 0 3 0 3 30
AB
AB AC AB AC AB AC ABC
AC
           
Câu 7 (2,0 điểm).Cho đƣờng tròn (O), từ điểm A nẳm ngoài đƣờng tròn kẻ đƣờng 
thẳng AO cắt đƣờng tròn (O ) tại B,C ( AB <AC ). Qua A kẻ đƣờng thẳng không 
đi qua tâm O cắt đƣờng tròn (O) tại D, E ( AD< AE). Đƣờng thẳng vuông góc với 
AB tại A cắt đƣờng thẳng CE tai F 
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp. 
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đƣờng tròn ( O). Chứng minh: DM 
 vuông góc với AC. 
c) Chứng minh: CE.CF +AD.AE = 2AC 
Lời giải 
a. Ta có: BEC 90(BC là đƣờng kính, E 
( O) suy ra FEB  90. Theo giả thiết, ta có: FAB 90. Vậy tứ giác 
ABEF nội tiếp. 
b. Ta thấyBMD= BED (góc nội tiếp cùng chắn cung BD) . Lại có tứ giác 
ABEF nội tiếp (cmt) suy ra 
AFB= AEB= DEB suy ra AFB= BMD =FMD hayAF //MD. Mà 
AF vuông góc AC hay DM vuông góc AC 
c. Vì BDEC nội tiếp  ADB đồng dạng ACE AD.AE =AB.AC (1) 
Tƣơng tự, tứ giác ABEF nội tiếp CAE đồng dạng CAF 
 CE.CF=CA.CB(2) 
Cộng 2 vế (1) và (2) ta có CE.CF+ AD.AE =AB.AC +CA.CB= 2AC