Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn thi: Toán (vòng 2) thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
 TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIấN TRƯỜNG THPT CHUYấN NĂM 2015
MễN THI: TOÁN (cho tất cả cỏc thớ sinh)
Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
 Cõu I: 
1) Giả sử a,b là hai số thực phõn biệt thỏa món 
a) Chứng minh rằng 
 b) Chứng minh rằng 
2) Giải hệ phương trỡnh 
Cõu II 
Tỡm cỏc số nguyờn khụng nhỏ hơn 2 sao cho chia hết cho 
Với là những số thực thỏa món đẳng thức Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
Cõu III 
 Cho tam giỏc nhọn ABC khụng cõn cú tõm đường trũn nội tiếp là điểm I. Đường thẳng AI cắt BC tại D. Gọi E,F lần lượt là cỏc điểm đối xứng của D qua IC,IB.
Chứng minh rằng EF song song với BC.
Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng DE,DF,EF. Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AEM cắt đường trỡn ngoại tiếp tam giỏc AFN tại P khỏc A. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cựng nằm trờn một đường trũn.
Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng.
Cõu IV
Cho bảng ụ vuụng . Kớ hiệu ụ là ụ ở hàng thứ i , cột thứ j. Ta viết cỏc số nguyờn dương từ 1 đến 2015 vào cỏc ụ của bảng theo quy tắc sau :
 i) Số 1 được viết vào ụ (1,1).
 ii) Nếu số k được viết vào ụ thỡ số k+1 được viết vào ụ .
 iii) Nếu số k được viết vào ụ thỡ số k+1 được viết vào ụ . (Xem hỡnh 1.)
Khi đú số 2015 được viết vào ụ . Hóy xỏc định m và n.
1
3
6
10
2
5
9
4
8
7
Hỡnh 1
2) Giả sử a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món Chứng minh rằng 
-------------------------------------------------
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
 TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIấN TRƯỜNG THPT CHUYấN NĂM 2015
MễN THI: TOÁN (vũng II)
Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu I 
1)Với là cỏc số thực thỏa món:
Chứng minh rằng 
2) Giải hệ phương trỡnh:
Cõu II 
1)Tỡm số tự nhiờn để và đều là số chớnh phương (số chớnh phương là bỡnh phương của một số nguyờn)
2)Tỡm nguyờn thỏa món đẳng thức:
3)Giả sử là cỏc số thực lớn hơn 2.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Cõu III 
Cho tam giỏc nhọn khụng cõn với Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn đoạn AM.Trờn tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho 
 1) Chứng minh rằng 
 2) Gọi là điểm đối xứng với qua .Đường thẳng cắt tại .Chứng minh rằng bốn điểm cựng thuộc một đường trũn,gọi đường trũn này là 
 3) Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc cắt tại khỏc .Chứng minh rằng song song với 
Cõu IV .
Ký hiệu là tập hợp gồm điểm phõn biệt trờn một mặt phẳng.Giả sử tất cả cỏc điểm của khụng cựng nằm trờn một đường thẳng.Chứng minh rằng cú ớt nhất đường thẳng phõn biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ớt nhất hai điểm của 
-------------------------------------------------
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
HƯỚNG DẪN THI VÀO CHUYấN KHOA HỌC TỰ NHIấN 2015-2016
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)
Cõu 1: 
1) Giả sử a,b là hai số thực phõn biệt thỏa món 
a) Chứng minh rằng 
 b) Chứng minh rằng 
2) Giải hệ phương trỡnh 
Hướng dẫn
a) 
vậy 
2)Ta thấy x=y =0 là nghiệm của phương trỡnh. 
Nếu nhõn hai vế của phương trỡnh với y
Vậy hệ cú 3 nghiệm (x;y)
Cõu 2
Tỡm cỏc số nguyờn khụng nhỏ hơn 2 sao cho chia hết cho 
Với là những số thực thỏa món đẳng thức Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
Hướng dẫn
1) 
Ta cỳ xy – 1 suy ra xy - 1xy +1- x –y
 Mà xy +1- x –y xy +1- x –y
 Suy ra : (x-1) + (y -1) suy ra x-1 y -1 và y-1 x -1 
 Suy ra x= y 
x2 – 1 (x -1)2 ta cú x+1 x-1 suy ra 2 x- 1 suy ra x= 2 hoặc x= 3
Cỏch khỏc: đặt 
Với 
*Với a=2 ta cú: 
* Với a=3 ta tỡm được x=y=2
2) 
 Phương trỡnh cú nghiệm khi suy ra 4 – 12p2 Suy ra 
Vậy: ;
Cõu 3. 
 Cho tam giỏc nhọn ABC khụng cõn cú tõm đường trũn nội tiếp là điểm I. Đường thẳng AI cắt BC tại D. Gọi E,F lần lượt là cỏc điểm đối xứng của D qua IC.IB.
Chứng minh rằng EF song song với BC.
Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng DE,DF,EF. Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AEM cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AFN tại P khỏc A. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cựng nằm trờn một đường trũn.
Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng.
Hướng dẫn 
a) Ta cú : AD là phõn giỏc mà là tam giỏc cõn,
b) Ta cú : 
mà 
Tương tự : 
mà nội tiếp
c) Ta cú : và thẳng hàng 
Cõu 4.
Cho bảng ụ vuụng . Kớ hiệu ụ là ụ ở hàng thứ i , cột thứ j. Ta viết cỏc số nguyờn dương từ 1 đến 2015 vào cỏc ụ của bảng theo quy tắc sau :
 i) Số 1 được viết vào ụ (1,1).
 ii) Nếu số k được viết vào ụ thỡ số k+1 được viết vào ụ .
 iii) Nếu số k được viết vào ụ thỡ số k+1 được viết vào ụ . (Xem hỡnh 1.)
Khi đú số 2015 được viết vào ụ . Hóy xỏc định m và n.
1
3
6
10
2
5
9
4
8
7
Hỡnh 1
2) Giả sử a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món Chứng minh rằng 
Hướng dẫn
Theo đề bài, cỏc số nguyờn dương được sắp xếp theo từng hàng chộo của bảng: Hàng chộo thứ nhất cú 1 số, hàng chộo thứ hai cú 2 số, ...
Giả sử số nằm ở hàng chộo thứ thỡ ta cú:
Áp dụng ta cú 
Số đầu tiờn ở hàng chộo thứ là 
Như vậy số nằm ở vị trớ thứ của hàng chộo thứ (Vị trớ ỏp chút)
Tọa độ của nú là 
2) Theo Cauchy 4 số ta cú : 
BĐT tương đương : (1)
Đặt 
Áp dụng BĐT Schur bậc 3: 
 với mọi số thực khụng ừm 
Chứng minh BĐT : 
Do vai trũ như nhau , giả sử 
Ta xột : 
Ta cú : 
Dấu = xảy ra khi 
HƯỚNG DẪN THI VÀO CHUYấN KHOA HỌC TỰ NHIấN 2015-2016
MễN THI:TOÁN(VềNG II)
Cõu I.(3 điểm)
1)Với là cỏc số thực thỏa món:
Chứng minh rằng 
Giải hệ phương trỡnh:
Hướng dẫn
1) Đặt 
Ta cú: 
2) 
Vậy 
Cỏch khỏc: từ PT(2) ta cú:
Thay vào PT(1) ta được (x+2)(2x+1)=9
Cõu II.(3 điểm)
1)Tỡm số tự nhiờn để và đều là số chớnh phương (số chớnh phương là bỡnh phương của một số nguyờn)
2)Tỡm nguyờn thỏa món đẳng thức:
3)Giả sử là cỏc số thực lớn hơn 2.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Hướng dẫn
1) 
Đặt  
vỡ 
Lại cú nờn 
Thay vào ta tớnh được thoả món
2) Ta thấy : và là cỏc số chớnh phương
Đặt 
3) Ta cú :
Dấu = xảy ra khi 
Min(P)=4 
Cõu III.(3 điểm)
Cho tam giỏc nhọn khụng cõn với Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn đoạn AM.Trờn tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho 
 1) Chứng minh rằng 
 2) Gọi là điểm đối xứng với qua .Đường thẳng cắt tại .Chứng minh rằng bốn điểm cựng thuộc một đường trũn,gọi đường trũn này là 
 3) Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc cắt tại khỏc .Chứng minh rằng song song với 
Hướng dẫn
P
G
D
Q
N
H
M
A
B
C
a ) P là điểm đối xứng của A qua M.
Suy ra HP = HM + MB = 2HM + AH = AN + AH = HN
Suy ra H là trung điểm của NP.
Mà BH NP nờn Tam giỏc PNB cõn tại B suy ra BN = BP.
Mặt khỏc lại cú: M là trung điểm của BC, AP nờn Tứ giỏc ACPB là hỡnh bỡnh hành nờn AC = BP suy ra AC = BN
b)Do tứ giỏc ACPB là hỡnh bỡnh hành suy ra 
Mà tam giỏc PBN cõn tại B suy 
Cú : AC = NB, NQ = AN
 N, B, C, D cựng thuộc một đường trũn.
c) G là giao điểm (DQG) với (DBC) 
Mà Tam giỏc GBQ đồng dạng tam giỏc GCA
Mà Tam giỏc NBC đồng dạng với tam giỏc GAQ
 GC = NB NG//BC
Cõu IV.(1 điểm)
Ký hiệu là tập hợp gồm điểm phõn biệt trờn một mặt phẳng.Giả sử tất cả cỏc điểm của khụng cựng nằm trờn một đường thẳng.Chứng minh rằng cú ớt nhất đường thẳng phõn biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ớt nhất hai điểm của 
Hướng dẫn
Giả sử trũn mặt phẳng cú n điểm thẳng hang thỡ tồn tại một đường thẳng . Theo bài ra cỏc điểm đú cho khụng cựng nằm trờn một đường thẳng nờn tồn tại ớt nhất một điểm khụng cựng nằm trờn đường thẳng đú nối điểm đú với n- 1 điểm đú cho ta được n-1 đường thẳng với đường thẳng đi qua n-1 điểm ta được n đường thẳng. Thay n = 2015 thỡ tồn tại ớt nhất 2015 đường thẳng
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
HƯỚNG DẪN THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYấN NĂM 2015
Mụn thi :TOÁN
( Dựng cho mọi thớ sinh vào trường chuyờn )
Cõu 1 (2.5 điểm ) Cho biểu thức với a>0 , b>0 a 
1 Chứng minh 
2 Giả sử a, b thay đổi sao cho . Tỡm min P
Hướng dẫn
1)
2) Áp dụng bất đẳng thức Cụsi ta cú 
Min(P)=25 khi b = 4a và 1 = 25ab suy ra 1 = 100a2 suy ra 
Cõu 2 ( 2 điểm ) cho hệ phương trỡnh.
Với m là tham số 
1 Giải phương trỡnh khi m = 2
2. Chứng minh hệ luụn cú nghiệm với mọi giỏ trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ phương trỡnh .chứng minh đẳng thức 
Hướng dẫn
1)Thay m = 2 ta cú
2) 
Vỡ m2 +1 khỏc 0 phương trỡnh cú nghiệm duy nhất với mọi m
3) Thay 
Ta cú
Cỏch khỏc
Thay ta đươc . 
Cõu 3 ( 1.5điểm )
 Cho a, b là cỏc số thực khỏc 0 . Biết rằng phương trỡnh 
 Cú nghiệm duy nhất . Chứng minh 
Hướng dẫn
Nếu a + b = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x = 0.
Nếu a + b ta cú
Nếu a và b khỏc dấu thỡ phương trỡnh cú nghiệm với mọi m
Nếu a và b cựng dấu thỡ phương trỡnh vụ nghiệm 
Phương trỡnh cú nghiệm duy nhất khi a và b khỏc dấu và suy ra .
Cõu 4. ( 3điểm ) Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc ABC và gúc ACB nhọn gúc BAC = 600 . Cỏc đường phõn giỏc trong BB1, CC1 của tam giỏc ABC cắt nhau tại I.
1> Chứng minh tứ giỏc AB1IC1 nội tiếp .
2. Gọi K là giao điểm thứ hai khỏc B của đường thẳng BC với đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BC1I . Chứng minh tứ giỏc CKIB1 nội tiếp 
2 Chứng minh 
Hướng dẫn
1. Ta cú . Mà hai gúc này đối nhau 
Nờn tứ giỏc AB1IC1 nội tiếp (đpcm).
2. Vỡ tứ giỏc BC1IK nội tiếp nờn ( gúc nội tiếp cựng chắn )
Và ( gúc nội tiếp cựng chắn )
Xột tam giỏc ABC: 
Xột tam giỏc BC1K: 
Suy ra Tứ giỏc CKIB1 nội tiếp (đpcm).
3. Vỡ Tứ giỏc ACKC1 nội tiếp (cựng chắn cung KC1)
Và (cựng chắn cung AC1). Mà (GT)
Suy ra Tam giỏc C1AK cõn tại C1C1A = C1K (1)
CMTT: B1A = B1K (2)
Từ (1), (2) suy ra B1C1 là đường trung trực của AK nờn AK B1C1 (đpcm
 Cõu 5 ( 1 điểm) . Tỡm cỏc số thực khụng õm a và b thỏa món
Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức Cụsi 
Dấu bằng xảy ra khi a= b = 
Nguyễn Minh sang THCS Lam Thao-Phỳ Thọ