Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2015 – 2016 môn: Toán thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

UBNN TỈNH HÀ NAM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn: Toán 
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề 
Câu 1 (2,0 điểm). 
 a) Rút gọn biểu thức A 8 7 32 5 50   . 
 b) Cho biểu thức 
x x 2
B 1
x 4 2 x

  
 
 (với x 0 và x 4 ). 
 Rút gọn B và tìm x để B 1 . 
Câu 2 (1,5 điểm). 
 a) Giải phương trình 25x 6x 8 0   . 
 b) Giải hệ phương trình 
  
  
x 3 y 2 7 xy
x 1 y 1 xy 2.
   

   
Câu 3 (1,5 điểm). 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): 2y x  và đường thẳng (d): 
y 3mx 3  (với m là tham số). 
 a) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 3). 
 b) Xác định các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho tổng 2 
tung độ của hai giao điểm đó bằng -10. 
Câu 4 (4,0 điểm). 
 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trên đường tròn. Gọi d là tiếp tuyến của (O) 
tại A. Trên d lấy điểm D (D không trùng với A), kẻ tiếp tuyến DB của (O) (B là điểm, 
B không trùng với A). 
 a) Chứng minh rằng tứ giác AOBD nội tiếp. 
 b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm C. Kẻ DH vuông góc với OC (H thuộc OC). 
Gọi I là giao điểm của AB và OD. Chứng minh rằng OH.OC OI.OD . 
 c) Gọi M là giao điểm của DH với cung nhỏ AB của (O). Chứng minh rằng CM 
là tiếp tuyến của (O). 
 d) Gọi E là giao điểm của DH và CI. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn 
đường kính OD và đường tròn ngoại tiếp tam giác OIM. Chứng minh rằng O, E, F 
thẳng hàng. 
Câu 5 (1,0 điểm). 
 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x 3y 10  . 
 Chứng minh rằng 
1 27
10
x 3y
  . 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 
--- HẾT --- 
Họ và tên thí sinh: ................................................................................ Số báo danh: .............................. 
Giám thị thứ nhất: ....................................................... Giám thị thứ hai: ................................................ 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH HÀ NAM 
NĂM HỌC 2015 – 2016 
Môn: Toán. 
Câu Nội dung đáp án 
Câu 1 
a) 
A 2 2 28 2 25 2   
A 2  
b) 
 x x 2 x 2 x 4
B
x 4
    


3 x
B
x 4



. 
Để   3 xB 1 1 x 3 x 4 0 x 1 x 4 0
x 4

          

x 1(TM)  . 
Câu 2 
a) 
Ta có    
2
' 3 5 8 49 0       
PT có hai nghiệm phân biệt 1
3 7
x 2
5

  ; 1
3 7 4
x
5 5

   . 
b) 
  
  
x 3 y 2 7 xy xy 2x 3y 6 7 xy
xy x y 1 xy 2x 1 y 1 xy 2
        
 
        
2x 3y 1 2x 3y 1
x y 1 3x 3y 3
    
  
    
x 2
y 1

 
 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; -1). 
Câu 3 
a) Đường thẳng (d) đi qua A(1; 3) nên 3 3m.1 3 m 2    . 
b) 
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là 
2 2x 3mx 3 x 3mx 3 0       (*) 
Ta có 29m 12 0    , với mọi m nên phương trình (*) có hai nghiệm phân 
biệt. Do đó đường thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại hai điểm  1 1x ,y và 
 2 2x ,y . Theo định lý Vi-ét ta có 1 2x x 3m   ; 1 2x .x 3  . 
Theo bài ra ta có  
22 2
1 2 1 2 1 2 1 2y y 10 x x 10 x x 2x x 10            . 
Do đó 2
2
9m 6 10 m
3
     . 
Câu 4 
d
F
E
M
I
H
B
OA
D
C
a) 
DA và DB là các tiếp tuyến của (O) nên 0OBD OAD 90  . 
Xét tứ giác AOBD có 0OBD OAD 180  , mà hai góc này ở vị trí đối diện 
nên tứ giác AOBD nội tiếp. 
b) 
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có DA DB và DO là tia phân 
giác của ABD . Do đó tam giác ABD cân tại D có DO là đường phân giác 
nên đồng thời là đường trung trực ... 
Xét OIC và OHD có 0OIC OHD 90  ; chung DOC nên 
OIC OHD(g.g) # 
OI OC
OH.OC OI.OD
OH OD
   . (1) 
c) 
Xét tam giác AOD vuông tại A có AI là đường cao nên 2OA OI.OD . 
(2) 
Mà OM OA (là bán kính (O)). (3) 
Từ (1), (2) và (3) suy ra 2
OM OC
OM OH.OC
OH OM
   . 
Xét OHM và OMC có chung MOC ; 
OM OC
OH OM
 nên 
OHM OMC(c.g.c) # . 
0OMC OIC 90   nên CM là tiếp tuyến của (O). 
d) 
Do 0OMC OIC 90  nên tứ giác OIMC nội tiếp đường tròn đường kính 
OC. 
Đường tròn ngoại tiếp tam giác CIM là đường tròn đường kính OC. 
suy ra 0OFC 90 . 
Mặt khác ta có 0OFD 90 . Như vậy OFC , OFD kề bù suy ra ba điểm C, F, 
D thẳng hàng. 
Xét tam giác OCD có ba đường cao DH, CI, OF mà có E là giao điểm CH, 
DI nên ba điểm O, E, F thẳng hàng. 
Câu 5 
 Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương, ta có 
1 1 2
x 1x x.1
 

; 
2 x 1
2
x 1 2

 

. Cộng hai bất đẳng thức trên ta được 
1 2 1 2
2 2
x 1 x 1x x
    
 
. (1) 
27 81 162
3y 93y 3y.9
 

; 
162 3y 9
18
3y 9 2

 

. Cộng hai bất đẳng thức trên ta 
được 
27 3y 9 27 3y 9
18 18
2 23y 3y
 
     . (2) 
Cộng các bất đẳng thức (1) và (2) ta được 
1 27 x 3y 10
20 10
2x 3y
 
    
(do x 3y 10  ). 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
x 1
y 3



. 
Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có 
3
1 1 1 1 2
x 3 . .x x 3
x x x x x
      . (1) 
3
27 27 27 27 2.27
3y 3 . .3y 3y 27
3y 3y 3y 3y 3y
      . (2) 
Cộng các bất đẳng thức (1) và (2) ta được 
   
1 27 1 27
2 x 3y 30 2 30 x 3y 20
x 3y x 3y
   
               
   
 (vì 
x 3y 10  ). 
1 27
10
x 3y
   . 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
x 1
y 3



. 
Cách 3. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có 
 
2
1 91 27 1 3.27 100
x 3y x 3 3y x 3 3y x 3 3y

    
 
. (1) 
    
2
2 21. x 3 3y 1 3 x 3y 100 x 3 3y 10        . (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
1 27
10
x 3y
  . 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
x 1
y 3



.