Đề thi tuyển chọn hệ Kỹ sư tài năng và Chất lượng cao năm 2005 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút

1
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ Kỹ sư tài năng và Chất lượng cao năm 2005
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút1
Bài 1:
Cho dãy số {un} xác định như sau:
un = un−1 +
1
un−1
, n ≥ 0, u0 = 1.
1/ Chứng minh rằng dãy số ấy không dẫn tới một giới hạn hữu hạn khi n→∞.
2/ Chứng minh rằng :
lim
n→∞
un = +∞
Bài 2:
Cho hàm số f(x) liên tục, đơn điệu giảm trên đoạn [0, b] và a ∈ [0, b].
Chứng minh rằng :
b
∫ a
0
f(x)dx ≥ a
∫ b
0
f(x)dx
Bài 3:
f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [0, pi
2
], thỏa mãn
f(x) > 0,
∫ pi
0
2f(x)dx < 1
Chứng tỏ rằng phương trình
f(x) = sinx
có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0, pi
2
)
Bài 4:
Cho hàm số :
f(x) =
{
xαsin( 1
x
) nếu x 6= 0
0 nếu x = 0
α là hằng số dương. Với giá trị nào của α, hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi x.
Bài 5:
Tìm tất cả các hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn hệ thức
f(x+ y) = f(x) + f(y) + 2xy (∀x, y ∈ R)
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp