Đề thi tốt nghiệp thpt quốc gia năm 2015 môn Thi: Toán

TỔ TOÁN
THPT NÚI THÀNH
 ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2015 
 Môn thi: TOÁN 
 Câu 1:(2,0 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C).
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Chứng minh rằng đường thẳng (d):y=-x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m thuộc R. Gọi A và B là hai giao điểm của d và (C), tìm m để OA+OB=4 (với O là gốc tọa độ).
Câu 2:(1,0 điểm) Giải phương trình 
Câu 3:(1,0 điểm) Tính tích phân 
 Câu 4:(1,0 điểm) 
a/ Giải phương trình .
b/ Cho số phức z thỏa điều kiện . Tìm mô đun của số phức .
Câu 5:(1,0 điểm) Trong không gian (Oxyz), cho đường thẳng (d): và mp(P):x+y+z-3=0. Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (P). Tìm tọa độ điểm A trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng .
Câu 6:(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD. Gọi M là trung điểm của AB. Biết rằng và đường thẳng SC tạo với đáy một góc Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
Câu 7:(1,0 điểm) Trong mặt phẳng (Oxy), cho tam giác ABC có trung điểm của BC là M(3;-1), đường thẳng chứa đường cao vẽ từ B đi qua E(-1;-3) và đường thẳng chứa cạnh AC qua F(1;3). Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết D(4;-2) là điểm đối xứng của A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 8:(1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
Câu 9:(1,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
.
ĐÁP ÁN 
Câu 1b: (1,0 điểm)) Cho hàm số có đồ thị (C).
b/ Chứng minh rằng đường thẳng (d):y=-x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m thuộc R. Gọi A và B là hai giao điểm của d và (C), tìm m để OA+OB=4 (với O là gốc tọa độ).
+ phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:
Đặt .
+Phương trình (*) có . 
Hơn nữa . Suy ra pt(*) luôn có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Do đó đường thẳng d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị m thuộc R.
+ Gọi , ( x1 và x2 là hai nghiệm của pt(*))
+ Tính được .
+ Theo đề bài ta có: m=0 hoặc m=2.
Vậy có hai giá trị của m thỏa đề là m=0, m=2.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2: (1,0 điểm)Giải phương trình 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 
0,25
0,25
0,5
Câu 3: (1,0 điểm)Tính tích phân 
Đặt .
+ x=0 suy ra t=1, x=4 suy ra t=3.
Khi đó 
0,25
0,25
0,5
Câu 4: (1,0 điểm)
Câu a: (0,5 điểm)Giải phương trình 
ĐK : 
 (*)
Đặt . Khi đó pt(*) trở thành : hoặc 
+Với t=-1. Suy ra 
+Với . Suy ra 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: , .
0,25
0,25
Câu b: (0,5 điểm)Cho số phức z thỏa điều kiện (*). Tìm mô đun của số phức .
-Đặt . Khi đó (*) trở thành :
.
. 
Suy ra mô đun của số phức z là .
0,25
0,25
Câu 5: (1,0 điểm)Trong không gian (Oxyz), cho đường thẳng (d): và mp(P):x+y+z-3=0. Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (P). Tìm tọa độ điểm A trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng .
 +Phương trình tham số của d là: . Gọi M là giao điểm của d và mp(P). 
.
. Suy ra M(1;1;1).
.
Theo đề ta có: .
Suy ra có hai điểm cần tìm là: A(4;-5;-2), A(-2;7;4).
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 6:(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là
tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD. Gọi M là trung điểm của AB. Biết rằng và đường thẳng SC tạo với đáy một góc Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
A
B
D
C
K
H
S
M
a
Vì nên 
Trong tam giác vuông ta có 
Suy ra . Suy ra 
Vì M là trung điểm AB và AH // (SBC) nên
	 	(1)
Kẻ tại K, tại Vì nên 
 (2)
Trong tam giác vuông SHK ta có 
 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 7: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng (Oxy), cho tam giác ABC có trung điểm của BC là M(3;-1), đường thẳng chứa đường cao vẽ từ B đi qua E(-1;-3) và đường thẳng chứa cạnh AC qua F(1;3). Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết D(4;-2) là điểm đối xứng của A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
+ Chứng minh được tứ giác BHCD là hình bình hành
+ Tìm được H(2;0).
+ PT đường cao (BH):x-y-2=0.
+ PT cạnh (AC):x+y-4=0.
+Gọi C(c ;4-c) thuộc AC. Nhờ t/c trung điểm suy ra B(6-c ;-6+c). 
B nằm trên BH nên ta có (6-c)-(-6+c)-2=0 hay c=5. Suy ra : B(1 ;-1) và C(5 ;-1).
+ PT đường cao (AH) đi qua H(2;0) và vuông góc BC là :x-2=0.
+ A là giao điểm của AH và AC nên A(2;2).
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 8: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
-Xét phương trình (1):
 thay vào (2) ta được :
 (*)
Xét , f(t) đồng biến trên R. Khi đó pt(*) trở thành:
Suy ra hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: , 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 9: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Cách 1: Đặt (x,y,z>0). 
Từ điều kiện ta có : (*)
Áp dụng: ta có và 
 mà . Suy ra 
hay 
Mặt khác 
Đặt . Ta có .
Xét hàm số . Suy ra được: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng . Dấu “=” xãy ra khi 2x=4y=z hay 2a=b=4c.
Cách 2:Điều kiện bài toán được viết lại: 
Biểu thức được viết lại: 
Đặt ( x,y,z>0). 
+ Khi đó điều kiện bài toán được viết lại: 
Mà .
+Biểu thức được viết lại:
Áp dung bất đẳng thức: (a+b+c)2 3(ab+bc+ca) ta có:
Do đó ta có:
Đặt , 
Xét hàm số . Từ đó suy ra , đẳng thức xãy ra khi x=y=z>0 hay 2a=b=4c>0.
0,25
0,25
0,25
0,25