SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN 3 ĐỀ THI THỬ KỲ THI QUỐC GIA NĂM 2015 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số: 3 2y x 3x mx 1 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0 . 2. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Gọi ( ) là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ điểm 1 11 I ; 2 4 đến đường thẳng ( ) . Câu 2: (1,0 điểm) Giaûi phöông trình : 23 2 3(1 ).cotcosx cosx x Câu 3: (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau: 42log ( 3)x + 3)1(log 2 x Câu 4: (1,0 điểm) Mét líp häc cã 20 häc sinh nam vµ 15 häc sinh n÷. ThÇy gi¸o chñ nhiÖm chän ra 5 häc sinh ®Ó lËp mét tèp ca h¸t chµo mõng ngµy 22 th¸ng 12. TÝnh x¸c suÊt sao cho trong ®ã cã Ýt nhÊt mét häc sinh n÷. Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình chóp ABCDS. có đáy ABCD là hình thoi tâm O , hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ). Biết AC 2 3a , BD 2 a , khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng 3 4 a . Tính thể tích khối chóp ABCDS. theo a . Câu 6: (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -4). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là 01 yx và 093 yx . Tìm tọa độ các đỉnh B , C của tam giác ABC. 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) có phương trình 084222 yxyx và đường thẳng ( ) có phương trình : 0132 yx . Chứng minh rằng ( ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn ( C ) sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất. Câu 7: (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực: 2 2 2 4 2 2 4 5 ( 2) 8 16 16 32 16 0 x x x x x mx m m Câu 8: (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 4 1 5 4 2 1 6 a a P a a trong đó a là tham số thực và 5 1 4 a . ....Hết ( Thí sinh không sử dụng tài liệu. C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm) Cảm ơn bạn Vì Sao Lặng Lẽ (visaolangle00@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl Híng dÉn chÊm m«n to¸n Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Cho hàm số: 3 2y x 3x 1 (1) 2,0 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2y x 3x 1 1,0 * Tập xác định: .R * Sự biến thiên: + Giới hạn: 3 2 x x x lim y lim x 3x 1 ,lim y . 0,25 + Bảng biến thiên: 2 x 0y 3x 6x 3x(x 2), y 0 x 2 Bảng biến thiên: x 0 2 y + 0 - 0 + y 1 -3 0,25 + Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 và 2; . + Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 . + Hàm số đạt cực đại tại CÐx 0, y y(0) 1 đạt cực tiểu tại CTx 2, y y(2) 3 0,25 * Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1), cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Ta có y 6x 6; y 0 x 1 y đổi dấu khi x qua x = 1. Đồ thị nhận điểm uốn I (1;-1) làm tâm đối xứng. f(x)=x 3^ -3x^2 +1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y 0,25 2 Tìm m để hàm số có cực đại,cực tiểu.......................................... 1,0 I 2 Ta có 2y 3x 6x m . Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt. Tức là cần có: 9 3m 0 m 3. 0,25 Chia đa thức y cho y , ta được: x 1 2m m y y . 2 x 1 3 3 3 3 . Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm 1 1 2 2x ; y , x ; y . Vì 1 2y (x ) 0; y (x ) 0 nên phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu là: 2m m y 2 x 1 3 3 hay m y 2x 1 2x 1 3 0,25 Ta thấy đường thẳng luôn đi qua điểm cố định 1 A ;2 2 . Hệ số góc của đường thẳng IA là 3 k 4 . Kẻ IH ta thấy 5 d I; IH IA 4 . 0,25 Đẳng thức xảy ra khi 2m 1 4 IA 2 m 1 3 k 3 (TM). Vậy 5 max d I; 4 khi m 1 . 0,25 Câu 2 Giaûi phöông trình : 23 2 3(1 ).cotcosx cosx x +ĐK : mx (3) x x xx 2 2 sin cos )cos1(322cos3 x x xx 2 2 cos1 cos )cos1(322cos3 02coscos6 cos1 cos3 2cos3 2 2 xx x x x 2) 3 2 arccos( 2 3 3 2 cos 2 1 cos kx kx x x (Thỏa các ĐK) Câu 3 Giải bất phương trình sau: 42log ( 3)x + 3)1(log 2 x Đk: x > 3 0.25 Khi đó phương trình tương đương log2(x-3)(x-1) 3 (x-3)(x-1) 8 0.25 x 1 hoặc x 5 0.25 Kết luận : x 5 0.25 C©u 4 Mét líp häc cã 20 häc sinh nam vµ 15 häc sinh n÷. ThÇy gi¸o chñ nhiÖm chän ra 5 häc sinh ®Ó lËp mét tèp ca h¸t chµo mõng ngµy 22 th¸ng 12. TÝnh x¸c suÊt sao cho trong ®ã cã Ýt nhÊt mét häc sinh n÷. Chän ngÉu nhiªn 5 häc sinh trong 35 häc sinh cña líp cã 535C c¸ch 0,25 Gäi A lµ biÕn cè: ‘‘ Chän ®îc 5 häc sinh trong ®ã cã Ýt nhÊt mét em n÷’’ Suy ra A lµ biÕn cè: “Chän ®îc 5 häc sinh trong ®ã kh«ng cã hs n÷ nµo” Ta cã sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ 520C 0,25 5 20 5 35 C P A C 0,25 5 20 5 35 2273 1 1 0,95224 2387 C P A P A C 0,25 C5 (1 đ) Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). VSABCD = 3 1 SO.SABCD Diện tích đáy 232. 1 1 aBDACS ABCD ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- .Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = 3a ; BO = a , do đó 060ABD tam giác ABD đều. Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH AB và DH = 3a ; OK // DH và 1 3 2 2 a OK DH OK AB AB (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao 2 2 2 1 1 1 2 a SO OI OK SO Đường cao của hình chóp 2 a SO . Thể tích khối chóp S.ABCD: 3 . 1 3 . 3 3 D DS ABC ABC a V S SO 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ C6 1. (1 điểm) Gäi C = (c; 3c - 9) vµ M lµ trung ®iÓm cña BC M(m; 1-m) Suy ra: B= (2m-c; 11 -2m- 3c). ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Gọi I lµ trung ®iÓm cña AB, ta có I( 2 32 cm ; 2 327 cm ) Vì I nằm trên đường thẳng 3x - y - 9 = 0 nªn 09) 2 327 () 2 32 (3 cmcm m = 2 M(2; -1) Ph¬ng tr×nh BC: x – y - 3=0 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Täa ®é cña C lµ nghiÖm cña hÖ: 03 093 yx yx 0 3 y x Täa ®é cña C = (3; 0), toạ độ B(1; -2) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 2. (1 điểm) Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = 13 . Khoảng cách từ I đến đường thẳng ( ) là 13 9 ),( Id < R Vậy đường thẳng ( ) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. 0,25 đ S A B K H C O I D 3a a --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có ),(. 2 1 MABM dABS Trong đó AB không đổi nên ABMS lớn nhất khi ),( Md lớn nhất. -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với ( ). PT đường thẳng d là 3x + 2y - 1 = 0 Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C). Toạ độ P, Q là nghiệm của hệ phương trình: 0123 084222 yx yxyx 5,3 1,1 yx yx P(1; -1); Q(-3; 5) Ta có 13 4 ),( Pd ; 13 22 ),( Qd --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ta thấy ),( Md lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với Q. Vậy tọa độ điểm M (-3; 5). 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Nội dung trình bày Câu 7 Điểm * Giải BPT: 2 2 2 4 5 (1) ( 2) x x x . Với 2x , (1) tương đương với 2 22 2 2 2 2 1 2 4 25 0 4. 5 0 2 2 2 2 5 2 x x x x x xx x x x x x x 1 Từ đó tìm ra 2x hoặc 2 1x . 0,5 * Giả sử 0x là một nghiệm của PT: 4 2 28 16 16 32 16 0x x mx m m (2) Khi đó PT: 4 2 20 0 08 16 16 32 16 0x x mx m m phải có nghiệm m Suy ra PT: 2 4 20 0 016 16( 2) 8 16 0m x m x x phải có nghiệm m. Do đó 2 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0' 64( 2) 16( 8 16) 0 16 ( 2)( 2 8) 0 0 2x x x x x x x x Như vậy nếu (2) có nghiệm thì nghiệm lớn nhất là 2 và nghiệm nhỏ nhất là 0. 1 Do đó hệ (1), (2) có nghiệm khi PT (2) có nghiệm x=2. Thay x=2 vào (2) ta được: 2 4 4 0 2m m m Vậy với 2m thì hệ (1), (2) có nghiệm. 0,5 Nội dung trình bày Câu 8 Điểm Đặt 5 4 ; 1A a B a thì 2 24 9; , 0A B A B Do đó tồn tại 0; : 3sin ; 2 3cos 2 x A x B x . Khi đó: 0, 5 3 3sin cos 2sin cos2 2 6 3sin 3cos 6 2sin 2cos 4 x xA B x x P A B x x x x Xét hàm số 2sin cos ( ) 2sin 2cos 4 x x f x x x , với 0; 2 x . Ta có 2 6 4sin 8cos '( ) 0 (2sin 2cos 4) x x f x x x với mọi 0; 2 x . Suy ra hàm f(x) đồng biến trên đoạn 0; 2 x . Do đó: 0; 0; 2 2 1 1 min ( ) (0) ; m ax ( ) 6 2 3x x f x f f x f . 1 Vậy 1 min 6 P , khi 5 4 a ; Vậy 1 max 3 P , khi 1a . 0,5 Chú ý: Có thể xét trực tiếp hàm số theo biến a: 5 4 1 ( ) 5 4 2 1 6 a a f a a a , 5 1 4 a Tính đạo hàm trực tiếp suy ra hàm f(a) nghịch biến trên đoạn 5 1; 4 , từ đó thu được kết quả như trên. HẾT Cảm ơn bạn Vì Sao Lặng Lẽ (visaolangle00@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl
Tài liệu đính kèm: