Đề thi thử kì thi quốc gia năm 2015 môn Toán - Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề

Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 
2
x m
y
x
 


 (Cm) 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1. 
b) Tỡm cỏc giỏ trị thực của tham số m để đường thẳng d: 2x+2y -1= 0 cắt đồ thị (Cm) tại hai điểm 
phõn biệt A, B sao cho tam giỏc OAB cú diện tớch bằng 1 (O là gốc toạ độ). 
Cõu 2 (1,0 điểm). 
 a) Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số 
2x x 1
f(x)
x 1
 


 trờn đoạn 
1
;2
2
 
 
 
. 
 b) Tớnh tớch phõn: 
0
2
1
2
dx
I
(x 1) 3 2x x


  
 . 
Cõu 3 (2,0 điểm). Giải cỏc phương trỡnh sau: 
 a)     212log1log 3
2
3  xx . 
 b) 
3sin 2x 2sin x
2
sin 2x cos x

 . 
Cõu 4 (1,0 điểm). 
 a) Cho số phức z thỏa món: 
1 i
(2 i)z 5 i.
1 i

   

 Tớnh mụ đun của số phức 2w z z  . 
 b) Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra 5 học sinh để 
lập một tốp ca hát chào mừng ngày thành lập Quân đội nhân dân Việt Nam(22 tháng 12). 
Tính xác suất sao cho trong đó có ít nhất một học sinh nữ. 
Cõu 5 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a, mặt bờn SAB là tam 
giỏc vuụng cõn tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng đỏy. Tớnh theo a thể 
tớch khối chúp S.ABC và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SB và AC. 
Cõu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD. Điểm 
11
F ;3
2
 
 
 
 là 
trung điểm của cạnh AD. Đường thẳng EK cú phương trỡnh 19x 8y 18 0   với E là trung điểm của 
cạnh AB, điểm K thuộc cạnh DC và KD = 3KC. Tỡm tọa độ điểm C của hỡnh vuụng ABCD biết 
điểm E cú hoành độ nhỏ hơn 3. 
Cõu 7 (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x 2y z 4 0    và 
mặt cầu   2 2 2S : x y z 2x 4y 6z 11 0       . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo 
một đường trũn. Xỏc định toạ độ tõm và tớnh bỏn kớnh của đường trũn đú. 
Cõu 8 (1,0 điểm). Cho , ,a b c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 4 4
a b c
b c a a b b c c a
  
    
  
. 
-------------------------------- Hết ------------------------------ 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. 
Họ và tên thí sinh: . Số báo danh:  
 đề thi thử kỳ thi thpt quốc gia năm 2015 
Môn: Toán 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
Sở gD&đT thái nguyên 
Trường thpt lương ngọc quyến 
1 
 Hướng dẫn chấm 
 thi thử kỳ thi thpt quốc gia năm 2015 
 môn Toán 
Lưu ý khi chấm bài: 
- Đỏp ỏn chỉ trỡnh bày một cỏch giải bao gồm cỏc ý bắt buộc phải cú trong bài làm của học sinh. 
Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thỡ khụng cho điểm bước đú. 
- Nếu học sinh giải cỏch khỏc, giỏm khảo căn cứ cỏc ý trong đỏp ỏn để cho điểm. 
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đú bị sai thỡ cỏc phần sau cú sử dụng kết quả sai đú khụng 
được điểm. 
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. 
- Trong lời giải cõu 5, nếu học sinh khụng vẽ hỡnh hoặc vẽ sai hỡnh thỡ khụng cho điểm. 
- Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn. 
Câu Nội dung Điểm 
I. Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm) 
Câu 1 
Cho hàm số 
2
x m
y
x
 


 (Cm) 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1. 
b) Tỡm cỏc giỏ trị thực của tham số m để đường thẳng d: 2x+2y -1= 0 cắt đồ thị 
(Cm) tại hai điểm phõn biệt A, B sao cho tam giỏc OAB cú diện tớch bằng 1 (O 
là gốc toạ độ). 
a. 1,0 
b. 1,0 a)
1
2
 


x
y
x
, TXĐ:  D \ 2  
-Giới hạn : lim 1 ; lim 1
 
   
x x
y y . Đường thẳng y = -1 là tiệm cõn ngang của đồ 
thị hàm số 
   2 2
lim ; lim
 
   
   
x x
y . Đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm 
số 
0,25 
-Chiều biến thiờn 
2
3
' 0 2
( 2)
y x
x

    

Hàm số nghịch biến trờn mỗi khoảng ( ; 2)  và ( 2; )  
Hàm số khụng cú cực trị 
0,25 
Bảng biến thiờn 
x 2 - - Ơ + Ơ 
y' || - - 
y 1-
+ Ơ
- Ơ
1-
0,25 
Đồ thị 
Sở giáo dục và đào tạo thái nguyên 
Trường thpt lương ngọc quyến 
2 
*Giao với trục Ox tại 
A(1;0) 
*Giao với trục Oy tại 
1
B(0; )
2
* Đồ thị nhận I(-2;-1) giao 
của hai tiệm cận làm tõm 
đối xứng 
8
6
4
2
2
4
6
8
15 10 5 5 10 15O-2
-1
0,25 
b) Phương trỡnh hoành độ giao điểm:
1
2 2
x m
x
x
 
  
 2
2
2 2 2 0 (1)
 
 
   
x
x x m
Đường thẳng (d) cắt (Cm) tại 2 điểm A,B  (1) cú hai nghiệm phõn biệt 2x   
0,25 
2
17
1 8(2 2) 0 17 16 0
16
22.( 2) ( 2) 2 2 0
2
m m m
mm
m
        
    
          
0,25 
1 1 2 2
1 1
A x ; x , B x ; x
2 2
   
      
   
 trong đú x1; x2 là hai nghiệm phõn biệt của 
phương trỡnh (1), theo viet ta cú 1 2
1 2
1
x x
2
x .x m 1

 

  
2 2 2
2 1 1 2 2 1 1 2
2(17 16m)
AB (x x ) (x x ) 2 (x x ) 4x x
2

          
0,25 
  
1
d O,d
2 2
 ; 
OAB
2(17 16m)1 1 1 47
S AB.d(O,d) . . 1 m
2 2 2 162 2

 
     (t/m) 
Vậy:
47
m
16

 
0,25 
Câu 2 
a) Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số 
2x x 1
f(x)
x 1
 


 trờn đoạn 
1
;2
2
 
 
 
. 
 b) Tớnh tớch phõn: 
0
2
1
2
dx
I
(x 1) 3 2x x


  
 . 
a) 0,5 
b) 0,5 
a) Hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn 
1
;2
2
 
 
 
. 
+) 
2
2
2
'( )
( 1)
x x
f x
x



, 
1
0 ;2
2
'( ) 0
1
2 ;2
2
  
   
  
  
    
 
x
f x
x
0,25 
3 
+) 
1 7
2 6
 
 
 
f ; 
7
(2)
3
f  
Vậy: 
1
;2
2
7
min ( )
6 
 
 

x
f x khi 
1
2
x ; 
1
;2
2
7
m ax ( )
3 
 
 

x
f x khi x=2. 
0,25 
b) 
0 0 0
2
1 1 1 2
2 2 2
dx dx dx
I
(x 1) (x 1)(3 x) 3 x(x 1) 3 2x x (x 1)
x 1
  
  
      

   
Đặt: 
3 x
t
x 1


 2
dx 1
tdt
(x 1) 2
  

. Đổi cận: 
1
x t 7;x 0 t 3.
2
       
0,25 
 
3
7
1 1
I dt 7 3
2 2
    
0,25 
Câu 3 
Giải cỏc phương trỡnh sau: 
 a)    
2
3 3
log x 1 log 2x 1 2 (1)    . 
 b) 
3sin 2x 2sin x
2
sin 2x cos x

 (2). 
a) 1,0 
b) 1,0 a) Đk:
1
1
2




x
x
0,25 
     3 3(1) 2log x 1 2log 2x 1 2  3 3log x 1 2x 1 log 3    
0,25 
  x 1 2x 1 3    
  
  
   
   
2
2
1
x 1x 1 hoac2 2x 3x 2 0
2x 3x 4 0(vn)
0,25 
 x 2  (thỏa món điều kiện) 
Vậy: x=2 
0,25 
b) ĐK:
k
sin 2x 0 x (k )
2

    
0,25 
(2) 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx  2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0 0,25 
 
x k2 
cosx 1
k2
sin 2x sin x x
3 3
 
      

0,25 
Đối chiếu với điều kiện 
Vậy : phương trỡnh cú nghiệm 

2
3
kx  
0,25 
Câu 4 
 a) Cho số phức z thỏa món: 
1 i
(2 i)z 5 i.
1 i

   

 Tớnh mụ đun của số phức 
2w z z  (3). 
 b) Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm chọn 
ra 5 học sinh để lập một tốp ca hát chào mừng ngày thành lập Quân đội nhân dân 
4 
Việt Nam(22 tháng 12). Tính xác suất sao cho trong đó có ít nhất một học sinh nữ. 
a) 0,5 
b) 0,5 
a) (3) (2 i)z 5 z 2 i      0,25 
w 5 5i w 5 2    0,25 
b) Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong 35 học sinh của lớp, có 535 C (cách) 
Gọi A là biến cố: ‘‘Chọn được 5 học sinh trong đó có ít nhất một em nữ’’ 
Suy ra A là biến cố: “Chọn được 5 học sinh trong đó không có hs nữ nào” 
Ta có số kết quả thuận lợi cho A là 520C 
0,25 
 
5
20
5
35
 
C
P A
C
   
5
20
5
35
2273
1 1 0,95224
2387
C
P A P A
C
      
0,25 
Câu 5 
Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a, mặt bờn SAB là tam giỏc 
vuụng cõn tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng đỏy. Tớnh 
theo a thể tớch khối chúp S.ABC và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SB và AC. 
1.0 
d
H
A C
B
S
J
K
+) Theo bài ta cú:
( )
2




SH ABC
a
SH
0,25 
+) 
2 3
4

ABC
a
S 
3
.
3
24S ABC
a
V  
0,25 
+) Dựng đường thẳng d đi qua B và d // AC 
( , ) ( ;( , )) 2 ( ; ( ; ))d AC SB d A SB d d H SB d   
Kẻ đoạn thẳng HJ sao cho HJ d, J d  ; Kẻ đoạn thẳng HK sao cho 
HK SJ, K SJ  
+) ( ;( , ))d H SB d HK 
0,25 
2 2 2 2
1 1 1 28 3
3 2 7
a
HK
HK HJ SH a
     
3
( , ) 2
7
d AC SB HK a   
0,25 
5 
Ghi chỳ : học sinh cú thể giải bằng cỏch tọa độ húa bài toỏn 
Câu 6 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD. Điểm 
11
F ;3
2
 
 
 
 là 
trung điểm của cạnh AD. Đường thẳng EK cú phương trỡnh 19x 8y 18 0   với 
E là trung điểm của cạnh AB, điểm K thuộc cạnh DC và KD = 3KC. Tỡm tọa 
độ điểm C của hỡnh vuụng ABCD biết điểm E cú hoành độ nhỏ hơn 3. 
1.0 
P
I
F
E
C
A
B
D K
H
+) Gọi AB=a (a>0) 
2
EFK ABCD AEF FDK KCBE
5a
S S S S S
16
         
EFK
1
S FH.EK
2
  , 
25 a 17
FH d(F, EK) ;EK a 5
42 17
     
ABCD là hỡnh vuụng cạnh bằng 5
5 2
EF
2
  
0,25 
+) Tọa độ E là nghiệm: 
2
211 25( 3)
2 2
19 8 18 0
 
    
 
   
x y
x y
2
58
(loai)
17
5
2
 

 
 

 

x
x
y
5
2;
2
 
  
 
E 
0,25 
+) AC qua trung điểm I của EF và ACEF 
AC: 7 29 0x y   
Cú :  
10
7 29 0 3
19 8 18 0 17
3

   
    
    

x
x y
AC EK P
y
y
10 17
;
3 3
 
  
 
P 
0,25 
Ta xỏc định được: 
9
(3;8)
5
 
 
IC IP C 
0,25 
Câu 7 
Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x 2y z 4 0    và mặt 
cầu   2 2 2S : x y z 2x 4y 6z 11 0       . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt 
cầu (S) theo một đường trũn. Xỏc định toạ độ tõm và tớnh bỏn kớnh của đường trũn 
đú. 
6 
1,0 Mặt cầu (S) cú tõm I(1;2;3), bỏn kớnh R=5 
2.1 2.2 3 4
d(I, (P)) 3
4 4 1
  
 
 
0,25 
Vỡ d(I,(P)) <R nờn (P) cắt (S) theo đường trũn. 0,25 
- Gọi H là hỡnh chiếu của điểm I trờn (P) thỡ H là giao của mp(P) với đường 
thẳng d qua I, vuụng gúc với (P). 
- Phương trỡnh đường thẳng d: 
x 1 2t
y 2 2t
z 3 t
 

 
  
   d (P) H H 3;0;2 .   
0,25 
Bỏn kớnh đường trũn là: 2 2r R IH 4   
0,25 
Câu 8 
Cho , ,a b c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 4 4
a b c
b c a a b b c c a
  
    
  
. 
1,0 Ta cú: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
4 4 4 4 4 4
a b c
VT
b b c c a a
     
          
     
2 2 2 2 2 2
1
2 2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
 
      
 
0,25 
 Mặt khỏc: 
2 2 2
1 2 1 2 1 2
; ;
a b c
b a b c b c a c a
      
 Cộng theo vế cỏc BĐT trờn ta được: 
2 2 2
1 1 1a b c
b c a a b c
     
 Suy ra: 
0,25 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4
VT
a b c a b b c c a
        
                
        
0,25 
VT 
1 4 4 4 1 1 1
4
VP
a b b c c a a b b c c a
 
             
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1a b c   
0,25