Đề thi thử đại học, cao đẳng năm 2010. Môn thi : Toán (đề 162)

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010.
 Mụn thi : TOÁN (ĐỀ 162)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH:
Cõu I( 2,0 điểm): Cho hàm số: (C)
Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) hàm số 
Tỡm trên trục hoành những điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị (C) 
Cõu II (2,0 điểm): 
Giải phương trỡnh lượng giỏc.
23cos2x+2sin3xcosx-sin4x-33sinx+cosx=1
Giải hệ phương trỡnh.
 x+y+1+1=4(x+y)2+3.x+y2x-y=32 
Cõu III(1,0 điểm): Tớnh tớch phõn sau.
Cõu IV(1,0 điểm): Cho tứ diện ABCD cú AC = AD = a2, BC = BD = a, khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng a3 . Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng a31527.
Cõu V(1,0 điểm): Cho ba số thực a,b,c thỏa món abc=22 ,Chứng minh rằng:
 a6+b6a4+b4+a2b2+b6+c6b4+c4+b2c2+c6+a6c4+a4+c2a2≥4
PHẦN RIấNG (Thớ sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần A hoặc B)
Theo chương trỡnh chuẩn.
Cõu VIa(2,0 điểm):
Trong khụng gian với hệ tọa độ vuụng gúc Oxyz. Viết phương trỡnh đường thẳng qua điểm đồng thời cắt cả hai đường thẳng và .
Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường trũn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ). 
 Viết PT đường thẳng (Δ) vuụng gúc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường trũn (C) tại A; B 
 sao cho AB = 6
Cõu VIIa(1,0 điểm): Xỏc định hệ số của x5 trong khai triển (2+x +3x2 )15 
Theo chương trỡnh nõng cao.
Cõu VIb(2,0 điểm):
Trong khụng gian với hệ tọa độ vuụng gúc Oxyz, cho mặt cầu và mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường trũn (C). Xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn đú.
Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường trũn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ). 
 Viết PT đường thẳng (Δ ) vuụng gúc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường trũn (C) tại A; B 
 sao cho AB = 6
Cõu VIIb(1,0 điểm):Giải phương trỡnh: 
 -------------------------------------------- HẾT------------------------------------------------
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. 
(Hướng dẫn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010.
 Mụn thi : TOÁN (ĐỀ 162)
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
I
2,0
1
1,0
TXĐ: D= R\{1}
y’= -3(x-1)2<0 ∀x∈D 
Hàm số luụng nghịch biến trờn D và khụng cú cực trị
0,25
Giới hạn: limx→1+x+2x-1 = +∞ limx→1-x+2x-1 = -∞
 limx→∞x+2x-1 = 1
PT đường TCĐ: x=1; PT đường TCN: y=1
0,25
Bảng biờn thiờn: 
t
-∞ 1 + ∞
f’(t)
 ∥ +
f(t)
1 + ∞ 
 - ∞ 1
0,25
Đồ thị:
0,25
2
1,0
Gọi k là hệ số gúc của đt đi qua A(0;a). PT đt d cú dạng y= kx+a (d)
d là tiếp tuyến với ( C ) ⇔ hệ PT x+2x-1=kx+ak=-3(x-1)2 cú nghiệm
Pt (1-a)x2 +2(a+2)x-(a+2)=0 (1) cú nghiệm x ≠ 1
0,25
Theo bài ra qua A cú 2 tiếp tuyến thỡ pt (1) cú 2 nghiệm x1 ; x2 phõn biệt
Đk là : a≠1Δ'=3a+6>0 ⇔ 1≠a>-2 (*)
Khi đú theo Viet ta cú : x1 +x2 = 2(a+2)a-1; x1.x2 = a+2a-1
0,25
. Suy ra y1 = 1+3x1-1 ; y2 =1+3x2-1
Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phớa của trục Ox thỡ y1.y2 <0 
 ⇔ (1+3x1-1) (1+3x2-1) < 0 ⇔x1.x2+2x1.+x2+4x1.x2-x1.+x2+1<0
0,25
Giải đk trờn ta được ⇔ -(3a+2) -2/3
Kết hợp với đk (*) ta cú 1 ≠ a>-2/3
0,25
II
2,0
1
1,0
ĐK: 3sinx+cosx≠0⇔cosx-π3≠0⇔x≠5π6+kπ, k∈Z
0,25
Với ĐK trờn PT đó cho tương đương với
3cos2x+sin2x=3sinx+cosx⇔cos2x-π6=cosx-π3
⇔2x-π6=x-π3+k2π2x-π6=-x-π3+k2π⇔x=-π6+k2πx= π6+k2π3;k∈Z
0,5
Đối chiếu ĐK ta được nghiệm của pt đó cho là x=π6+k2π,x=3π2+k2π, k∈Z
0,25
2
1,0
Đặt : t = x + y ; ĐK: t ≥0
Giải PT: t+1+1=4t2+3.t⇔t+1-3t=4t2-1
0.25
 ⇔1-2tt+1+3t=2t-12t+1
 ⇔1-2t1t+1+3t+2t+1=0
 ⇔t=12
0,5
Hệ đó cho trở thành x+y=122x-y=32⇔x=23y=-16
Vậy hệ dó cho cú một nghiệm x=23y=-16
0,25
III
1,0
Đặt : t = tanx⇒dt=dxcos2x
Đổi cận: x = π4⇒t=1
 x = π3⇒t=3
0,5
Khi đú 
0,5
IV
1,0
BĐT cần chứng minh tương đương với
(a2+b2)(a4+b4-a2b2)a4+b4+a2b2+b2+c2(b4+c4-b2c2)b4+c4+b2c2+c2+a2(c4+a4-c2a2)c4+a4+c2a2≥4
Nhận xột: Do abc=22 nờn a2,b2,c2 là cỏc số thực dương 
0,25
Xột : A = (x2+y2-xy)x2+y2+xy với x,y > 0
Chia tử và mẫu cho y2 và đặt t = xy ta được A = t2-t+1t2+t+1 với t > 0
Xột hàm số f(t) = t2-t+1t2+t+1 trờn (0;+ ∞)
Ta cú : f’(t) = 2(t2-1)(t2+t+1)2=0⇔t=1
Bảng biờn thiờn: 
t
 0 1 + ∞
f’(t)
 0 +
f(t)
1 1
 13
Dựa vao bảng biến thiờn ta cú f(t) ≥ 13 với mọi t > 0
Từ đú A = (x2+y2-xy)x2+y2+xy≥13 với x,y > 0; dấu bằng xảy ra khi t = 1 nờn x = y.
0,5
Do vai trũ a2,b2,c2 là như nhau nờn BĐT cần chứng minh tương đương
 13(a2+b2)+13(b2+c2)+13(c2+a2)≥4
⇔23(a2+b2+c2)≥4
Áp dụng BĐT cụ si ta cú a2+b2+c2≥33a2b2c2=6, với abc=22
Thay vào ta suy BĐT được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2
0,25
V
1,0
a3
a2
a
α
H
D
E
C
B
A
Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH ⊥ AE
Ta cú △ACD cõn tại A nờn CD ⊥ AE
Tương tự △BCD cõn tại B nờn CD ⊥ BE
Suy ra CD ⊥(ABE) ⇒ CD ⊥ BH
Mà BH ⊥ AE suy ra BH ⊥ (ACD) 
Do đú BH = a3 và gúc giữa hai mặt phẳng 
(ACD) và (BCD) là α
0,25
Thể tớch của khối tứ diện ABCD là V=13BH.SACD=a31527
⇒SACD=a253⇒AE.DE=a253⇒AE2DE2=a459
Mà AE2+ED2=2a2
Khi đú :AE2,DE2 là 2 nghiệm của pt: x2 - 2a2x + a459 = 0
⇒AE2=a23DE2=5a23 hoặcAE2=5a23DE2=a23 trường hợp DE2=5a23 loại vỡ DE<a
0,25
Xột △BED vuụng tại E nờn BE = BD2-DE2=a2-a23=a23 
Xột △BHE vuụng tại H nờn sinα = BHBE=a3a23=12⇒α=450
Vậy gúc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là α=450
0,25
VIa
2,0
1
1,0
Ta cú BC=(2;4;0); BD=(0;4;3) 
 [BC, BD] = (12; -6;8)
Mp (BCD) đi qua B và cú VTPT n =(6;-3;4) nờn cú PT: 6x-3y+4z+16=0
Gọi d là đt đi qua A và vuụng gúc với mp(BCD) thỡ d cú PT:
x=4+6t y=-7-3tz= 4t
0,5
Hỡnh chiếu vuụng gúc H của A lờn mp(BCD) là giao điểm của d với mp(BCD)
Tọa độ của H là nghiệm của hệ : 
x=4+6t y=-7-3tz= 4t6x-3y+4z+16=0⇔t=-1x=-2y=-4z=-4
Vậy H( -2; -4; -4)
0,5
2
1,0
 I 
 A H B
 Đường trũn ( C) cú tõm I(1;-3); bỏn kớnh R=5
Gọi H là trung điểm AB thỡ AH=3 và IH ⊥AB suy ra IH =4
Mặt khỏc IH= d( I; Δ )
Vỡ Δ || d: 4x-3y+2=0 nờn PT của Δ cú dạng
3x+4y+c=0
0,5
d(I; Δ )= |c-9|5=4⇔c=29c=-11 
vậy cú 2 đt thỏa món bài toỏn: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0
0,5
VIIa
1,0
Ta cú (2+x+3x2 )15 =k=015C15k.(x+3.x2)k.215-k
Mà (x+3.x2)k =i=0kCki.3i.xk+i
Vậy (2+x+3x2 )15 =k=015.i=0kC15k.Cki.3i.xk+i
0,5
Theo gt với x5 ta cú cỏc cặp số : (k=3; i=2) ( k=4; i=1) (k=5; i=0)
Vậy hệ số của x5 trong khai triển trờn là :
a= C153.C32.32.212+C154.C41.31.211+C155.C50.30.210=82.131.210
0,5
VIb
1,0
ĐK: x > 1
Với ĐK trờn phương trỡnh đó cho tương đương 
 9x- 2.3x- 3log3x-1-3=2.3x-9x
0,25
 ⇔3x- 3)(3x+ 1log3x-1-3-2.3x+9x=0
 ⇔3x- 3)(3x+ 1log3x-1+3x+13x-3=0
 ⇔3x- 3)(3x+ 1log3x-1+1=0
0,5
 ⇔3x- 3=0 log3x-1+1=0⇔x=1 (loại)x=43 ⇔x=43
Vậy phương trỡnh đó cho cú một nghiệm : x=43
0,25