Đề thi olympic toán sinh viên học sinh năm 2016 chủ đề: Số học thời gian làm bài: 180 phút

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2016
CHỦ ĐỀ: SỐ HỌC
Thời gian làm bài: 180 phút
Bảng PT
Thí sinh được sử dụng kết quả của các câu trước trong chứng minh của câu sau.
Sự phân bố của số nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên, cách xây dựng các số nguyên tố là những bài
toán được quan tâm từ rất lâu trong Số học. Dưới đây chúng ta sẽ tìm cách chứng minh trường hợp
đặc biệt của một trong những kết quả đẹp nhất của Số học: định lý Dirichlet về sự tồn tại vô hạn số
nguyên tố trong một cấp số cộng mà số hạng đầu tiên và công sai nguyên tố cùng nhau.
A. Khái niệm cấp
Bài PT.1. Cho a, n là các số nguyên nguyên tố cùng nhau với n ≥ 2. Chứng minh rằng tồn tại
một số nguyên dương c nhỏ nhất với tính chất ac ≡ 1 (mod n).
Số nguyên c được gọi là cấp của a modulo n và được kí hiệu là ordn(a).
Bài PT.2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k, ak ≡ 1 (mod n) khi và chỉ khi ordn(a) |
k.
Bài PT.3. Chứng minh rằng ordn(a) | ϕ(n), trong đó ϕ kí hiệu hàm số phi của Euler, định nghĩa
bởi công thức: ϕ(1) = 1 và với n > 1,
ϕ(n) = n
∏
p là ước nguyên tố của n
(
1− 1
p
)
.
(Nhắc lại rằng kí hiệu x | y nghĩa là x là một ước của y.)
B. Sự tồn tại số nguyên tố trong một số cấp số cộng
Bài PT.4. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố có dạng 4k + 3.
Bài PT.5. (i) Chứng minh rằng ước nguyên tố lẻ của một số có dạng n2 + 1 luôn đồng dư với
1 modulo 4.
(ii) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố có dạng 4k + 1.
Bài PT.6. (i) Chứng minh rằng ước nguyên tố 6= 3 của số tự nhiên có dạng n2 − n + 1 phải
đồng dư với 1 modulo 6.
(ii) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố có dạng 6k + 1.
C. Sự tồn tại số nguyên tố trong cấp số cộng có dạng nk + 1
Trong các bài tập sau đây, ta cố định một số nguyên k ≥ 3.
Với a là một số nguyên 6= 0 và p là một số nguyên tố, ta dùng kí hiệu vp(a) để chỉ số mũ đúng
của p trong phân tích của a ra thừa số nguyên tố, nói cách khác pvp(a) | a nhưng pvp(a)+1 - a.
Bài PT.7. Giả sử p là một ước nguyên tố của kk − 1. Kí hiệu c là cấp của k modulo p. Chứng
minh rằng vp(kc − 1) = vp(kk − 1).
Ta nhắc lại rằng một số nguyên dương được gọi là không có ước chính phương nếu trong phân
tích ra thừa số nguyên tố của nó, mỗi số nguyên tố đều xuất hiện với số mũ ≤ 1. Như vậy, các số
nguyên dương không có ước chính phương đầu tiên là 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, . . ..
Bài PT.8. Kí hiệu D là tập tất cả các ước nguyên dương d của k sao cho d < k mà k
d
là một số
nguyên không có ước chính phương. Kí hiệu D1 = {d ∈ D | số ước nguyên tố của kd là lẻ},
D2 = {d ∈ D | số ước nguyên tố của kd là chẵn}. Đặt
A =
∏
d∈D1
(kd − 1), B =
∏
d∈D2
(kd − 1).
(Ta qui ước A = 1 nếu D1 = ∅ và tương tự B = 1 nếu D2 = ∅.)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p mà p | kk − 1 nhưng p 6≡ 1 (mod k) thì ta có
vp(A) = vp(B) + vp(k
k − 1).
Bài PT.9. Chứng minh rằng kk − 1 có một ước nguyên tố có dạng nk + 1.
Bài PT.10. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố có dạng nk + 1.
2