Đề thi olympic toán sinh viên đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh năm 2013

Đề thi Olympic Toán sinh viên Đại học Sư Phạm TP.HCM năm 2013
Môn Giải tích
Câu 1: Cho 
và 
Giả sử dãy không âm và thoả 
Chứng minh 
Câu 2: Giả sử hai dãy thoả các điều kiện sau:
i) 
ii) 
iii) 
Tìm 
Câu 3: Cho P(x),Q(x)là các đa thức hệ số thực thoả mãn:
Chứng minh 
Câu 4: Cho f liên tục trên [a;b], khả vi trên (a,b) và 
Chứng minh rằng
Câu 5: Cho sao cho:
Xét tính đơn điệu của hàm số
Câu 6: Cho 
Giả sử f(0)=f(a)=1. Gọi , chứng minh
Môn Đại số
Bài 1: Cho A là ma trận cấp và B là ma trận cấp thỏa:
Tìm AB
Bài 2: Cho n là số nguyên dương, x, a, b là các số thực với Ký hiệu M_n là ma trận vuông cấp 2n thỏa
Tìm 
Bài 3: Cho Chứng minh rằng và có cùng hạng.
Bài 4: Cho ma trận A như sau với 
Chứng minh rằng 
Bài 5:
a) Cho là n vector khác không của kgvt V và là một phép biến đổi tuyến tính thỏa 
với k = 2,3,,n
Chứng minh rằng hệ vector độc lập tuyến tính.
b) Chứng minh rằng hệ vector độc lập tuyến tính trong không gian các hàm số liên tục trên 
Bài 6: Cho A,B là hai ma trận đối xứng cấp n. Giả sử tồn tại hai ma trận X,Y cấp n thỏa . Chứng minh 
Bài 7: Cho thỏa và là hai ma trận đối xừng và . Chứng minh rằng 
Bài 8: Cho P,Q,U,V là các ma trận cấp 2 thỏa U,V là 2 nghiệm phân biệt của phương trình và U-V khả nghịch.
Chứng minh và 
Bài 9: Cho P là đa thức hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1. Xét
Q(x) có ít nhất 2n-1 nghiệm thực phân biệt đúng hay sai?