Đề thi olympic môn toán 10 năm học 2015 - 2016 (thời gian làm bài: 120 phút)

SỞ GD & ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 10 
NĂM HỌC 2015 - 2016
 (Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1. (4.5 điểm): Cho hai hàm số có đồ thị lần lượt là . 
	a). Tìm tọa độ giao điểm A, B của và biết hoành độ của điểm A, .
	b). Gọi a là đường thẳng qua A và cắt lần lượt tại E và F khác A, b là 	đường thẳng qua B và cắt lần lượt tại G và H khác B. Chứng minh rằng 	EG song song với HF.
Câu 2. (7.5 điểm): 
	a). Giải bất phương trình 
	b). Giải hệ phương trình 
	c). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Câu 3. (4,0 điểm): 
	a). Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm của CD, N là điểm nằm trên 	đoạn BM sao cho . Chứng minh 
	b). Giả sử ABC là tam giác nhọn, dựng các đường cao AA’, BB’, CC’ của tam 	giác. Chứng minh rằng .
Câu 4. (2,0 điểm): Cho tam giác ABC và M là một điểm bất kỳ trong tam giác. Gọi diện 	tích của các tam giác lần lượt là . Chứng minh
.
Câu 5. (2,0 điểm): Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh 
----------------- Hết ----------------
KỲ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 10 
NĂM HỌC 2015 - 2016
ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Nội dung đáp án
Điểm
1.a
1,5đ
Xét phương trình hoành độ giao điểm 
2,0
 () cắt () tại .
0,5
1.b
3.0đ
Đường thẳng a đi qua A cắt () và () lần lượt tại E và F khác A.
Giả sử hệ số góc của a là khi đó 
a: .
Ta có:
Hoành độ của E là nghiệm khác của phương trình 
0,5
Hoành độ của F là nghiệm khác của phương trình 
Đường thẳng b đi qua A cắt () và () lần lượt tại G và H khác A. Giả sử hệ số góc của b là khi đó b: . Ta có:
Hoành độ của G là nghiệm khác của phương trình 
0,5
Hoành độ của H là nghiệm khác của phương trình 
0.5
Ta có, hệ số góc của đường thẳng EG là 
0.5
Hệ số góc của đường thẳng HF là 
Do đó, ta có điều phải chứng minh.
2.a
3,0đ
Điều kiện xác định 
0,5
Ta có 
1,0
Nhận xét là nghiệm của bất phương trình.
0,5
Với , ta có 
0,5
Kết hợp lại ta được tập nghiệm của bất phương trình là .
0.5
2.b
2,5đ
Hệ đã cho tương đương
0,5
Ta nhận thấy không phải là nghiệm của hệ do đó ta biến đổi hệ
0,5
Đặt , Ta được hệ
0,5
Với 
Vậy hệ đã cho có nghiệm 
0,5
2c
Điều kiện .
0,5
Ta có , suy ra .
0,5
0,5
Suy ra , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của là .
0,5
3.a
2.0đ
Ta có
0,5
Vì M là trung điểm của CD nên thay vào (1) ta được 
0,5
Mà . Do đó
0,5
0,5
3.b
2.0đ
Ta có .
Trong tam giác AB’C’ ta có 
0,5
Nhưng (do BC’B’C là tứ giác nội tiếp), suy ra 
0,5
Từ đó ta có 
1
4.a
2.0đ
Cho tam giác ABC và M là một điểm bất kỳ trong tam giác. Đặt . Chứng minh rằng .
Gọi A’ là giao điểm của đường thẳng MA với BC.
Ta có 
Nhưng 
Suy ra 
0,5
 (*)
0,5
Mặt khác ta có 
0,5
Thay vào (*) ta được 
0,5
5
2.0đ
Từ và . Ta có 
0,5
Đặt 
Khi đó ta có 
0.5
Ta chứng minh 	
0.5
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
0,5