Đề thi olympic lớp 6 năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán - Trường Thcs Bích Hòa

phòng Giáo dục & Đào tạo
Đề chính thức
Thanh oai
TRƯỜNG THCS BÍCH HềA
Đề thi olympic lớp 6
Năm học 2015 - 2016
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút 
(không kể thời gian giao đề )
Cõu 1: (6,0 điểm)
a) Tớnh tổng: 
b) Chứng minh rằng: chia hết cho 72.
c) Khi chia một số tự nhiờn a cho 4 ta được số dư là 3. Cũn khi chia a cho 9 ta được số dư là 5. Hóy tỡm số dư trong phộp chia a cho 36.
Cõu 2: (4,0 điểm)
Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y sao cho: 7x + 12y = 50.
 Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n để phõn số cú thể rỳt gọn được. 
Cõu 3: ( 2,0 điểm)
Tỡm cỏc số nguyờn tố x,y sao cho: x2 + 45 = y2 
Cõu 4: (6,0 điểm)
Cho và là 2 gúc kề bự. Om là tia phõn giỏc của ; On là tia phõn giỏc của .
 a) Tớnh .
 b) Kẻ tia Om’ là tia đối của tia Om .Nếu = thỡ cú số đo bằng bao nhiờu độ.
 c) Vẽ đường thẳng d khụng đi qua O .Trờn đường thẳng d lấy 2015 điểm phõn biệt .Tớnh số cỏc gúc cú đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm bất kỡ trờn đường thẳng d .
Cõu 5: ( 2,0 điểm)
Tìm các số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện:
	 và 8b - 9a = 31
----------- Hết -----------
(giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai
Hướng dẫn chấm thi olympic
Năm học 2015 - 2016
Môn thi : Toán 6
Cõu
Túm tắt nội dung hướng dẫn
Điểm
Cõu 1
(6 đ)
Cõu a (2 điểm)
+ Xột tử: 27.4500+135.550.2 = 270.450+270.550
 = 270.(450+550) = 270000
+ Xột mẫu: 2+4+6++18 = 
 + Suy ra: S = 270000:90=3000
Cõu b (2 điểm)
+) Vỡ cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 9 nờn tổng đú chia hết cho 9.
+) Lại cú cú ba chữ số tận cựng là 008 chia hết cho 8 nờn tổng đú chia hết cho 8.
+) Mà (8,9) = 1. Nờn chia hết cho 9.8 = 72.
Cõu c (2 điểm)
Đặt a = 4q+3=9p+5 (p, q là thương trong hai phộp chia)
=> a + 13 = 4(q+4)=9(p+2)
=> a+13 là bội của 4 và 9
Mà (4;9) = 1 => a+13BC(36)
=> a + 13 = 36k (k)
=> a = 36k – 13 =36(k-1) + 23
Vậy a chia 36 dư 23.
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,75 
0,75 
0,5 
0,5 
0,5 
0,25
0,25
0,25 
0,25
Cõu 2
đ)
1.( 1,5 điểm)
 Ta cú 122 = 144 > 50 và y ∈ N => 0y 1 => y ∈0;1
 +) Với y = 1 => 7x + 121 = 50 => 7x = 38 => khụng tỡm được x ∈N.
 +) Với y = 0 => 7x + 120 = 50 => 7x = 49=72 => x = 2
Kết luận. Vậy x = 2, y = 0
0,5
0,5
0,5
2. ( 2,5 điểm)
* Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cựng chia hết cho số nguyờn tố d
 => 18 n + 3 d ; 21n + 7 d => 6( 21n + 7) – 7(18n + 3) d
=> 21 d => d Ư(21) = { 3 ; 7}
+) Nếu d = 3 khụng xẩy ra vỡ 21n + 7 Khụng chia hết cho 3.
+) Nếu d = 7 khi đú để phõn số cú thể rỳt gọn được thỡ
 18n + 3 7 ( vỡ 
 Do. 18n + 3 7 => 18n + 3 – 21 7
 => 18(n - 1) 7 mà (18; 7) = 1 => n – 1 7 = > n = 7k + 1 (kN) Vậy để phõn số cú thể rỳt gọn được thỡ n = 7k + 1(kN) 
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
Cõu 3 
( 2đ)
+) Từ đầu bài : x2 + 45 = y2 => y2 > 45. Do đú y là số nguyờn tố lẻ
+) Vỡ y là số nguyờn tố lẻ suy ra y2 là số lẻ. Mà x2 + 45 = y2 Từ đú ta
cú: x2 + 45 là số lẻ hay x là số nguyờn tố chẵn ( vỡ 45 là số lẻ ) => x =2
+ Thay x = 2 vào đầu bài thỡ y2 = 4 + 45 suy ra y2 = 49 => y = 7( chọn)
Vậy ( x ,y ) = ( 2, 7 )
0,5
1,0 
0,5 
Cõu 4
(6 đ)
a)( 2điểm)
 + Ta cú ( cặp gúc kề bự )
 + Om là tia phõn giỏc : 
 + On là tia phõn giỏc : 
 + 
Chỳ ý: Cõu này học sinh khụng vẽ hỡnh nhưng lập luận và tớnh đỳng vẫn cho điểm tối đa.
b) ( 2,5 điểm )
 + Vẽ hỡnh theo yờu cầu của đề bài
 + Om và Om’ là hai tia đối nhau =>
 => (1)
Mặt khỏc : (2)
Từ (1) và (2) => 
Hay : ( vỡ Om là tia phõn giỏc của )
Om và Om’ là hai tia đối nhau =>
=> 
c) ( 1,5 điểm )
+)Cứ 2 điểm trờn đường thẳng d nối với điểm O được 1 gúc tại đỉnh O
+) Cú bao nhiờu đoạn thẳng trờn đường thẳng d thỡ cú bấy nhiờu gúc đỉnh O.
+) Số gúc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kỡ trờn đường thẳng d là :
 ( gúc) 
 Vậy cú 2029105 gúc.
0,5 
0,5 
0,5
0,5
0,5
0,5 
0,25
0,5 
0,25 
0,5
0,5 
0,5 
 0, 5
 Cõu 4
(2,0đ)
Tìm a,b ẻ N thỏa món điều kiện: và 8b - 9a = 31
+Từ đầu bài: 
 8b - 9a = 31 ị b = ẻ N 
 ị (a-1) M 8 
 ị a = 8q + 1(q ẻ N)
Khi đú: b = 
Suy ra: 11(9q+5) 38 ị q > 1
 Và : 29(8q+1) < 23(9q+5) ị 25q < 86 ị q < 4 
 Vậy q ẻ {2; 3}
 Với q = 2 ị 	;	q = 3 ị 
0, 5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Ghi chỳ : Học sinh làm theo cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn được điểm tối đa.