Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học : 2013 - 2014 môn: Toán - Lớp 8 thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

TRƯƠNG THCS CẨM HƯNG
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI 
Năm học : 2013 - 2014
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————
Câu 1 (2 điểm):
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + 1
b) Cho (1); (2).
Chứng minh rằng: a + b + c = abc 
Câu 2(2 điểm):
a) Cho các số nguyên a, b,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1. 
Chứng minh rằng: A= là số chính phương;
b) Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100 Câu 3(2điểm):
a) Giải phương trình:
b) Tìm số dư trong phép chia của đa thức cho đa thức .
Câu 4(3 điểm): 
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh CE vuông góc với DF.
b) Chứng minh 
c) Gọi K là giao điểm CM và DA . Chứng minh MAD cân.
d) Tính diện tích MDC theo a.
Câu 5(1 điểm): 
 Một người đi một nửa quãng đường AB với vận tốc 15 km/h, và đi phần còn lại với vận tốc 30 km/h. Tính vận tốc trung bình trên toàn bộ quãng đường AB.
Hết.
TRƯƠNG THCS CẨM HƯNG
ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI 
Năm học: 2013 - 2014
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————
CÂU
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Câu 1
2,0 điểm
a
x7 + x2 + 1 
 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 )
 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 ) 
 = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 )
 = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
 = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1]
 = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
1
Từ (1) suy ra 
a + b + c = abc
0,5
0,5
Câu 2
2,0 điểm
a
Ta có: 
Vì a, b, c là các số nguyên
 là số chính phương
1
b
Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50
Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101
Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513) 
= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1)
Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003)
Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B
0,5
0,5
Câu 3
2,0 điểm
a
Giải phương trình:
ĐK : 
Phương trình tương đương 
 (thỏa điều kiện )
Vậy nghiệm của phương trình là x = -2; x = 10
1
b
Ta có: 
Đặt , biểu thức P(x) được viết lại:
Do đó khi chia cho t ta có số dư là 1995
1
Câu 4
2,0 điểm
a
 vuông tại C vuông tại M hay CE DF.
1
b
Xét có 
và 
=> đồng dạng (gg)
=> 
Mà BC =a 
Do đó : 
1
c
Gọi K là giao điểm của AD với CE. Ta có :
 AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M
 cân tại A
d
Do đó: 
Mà: .
Vậy: .
Trong theo Pitago ta có: 
.
Do đó: 
Câu 5
2,0 điểm
a
Gọi vận tốc trung bình mà ô tô đi từ A đến B là x (km/h)
 Quãng đường AB là y (km).
ĐK: x > 0, y > 0
Thời gian ô tô đi nửa quãng đường đầu là: (h)
Thời gian ô tô đi nửa quãng đường sau là: (h)
Thời gian ô tô đi trên quãng đường theo dự định là: (h)
Theo bài ta có phương trình:
Giải phương trình ta thu được x = 20 (thỏa mãn)
Vậy vận tốc trung bình mà ô tô đi từ A đến B là 20 km/h
1