Đề thi học sinh giỏi toán 8 năm học 2013 - 2014 thời gan làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD & ĐT CẨM GIÀNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
NĂM HỌC 2013 - 2014
Thời gan làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang
Câu 1 (3 điểm)
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 
 	b) 
2. Giải phương trình: 
3. Cho . Tính A = 
Câu 2 (2 điểm)
Cho biểu thức: 
 	a. Rút gọn biểu thức A. 
 	b. Tìm giá trị của x để A < 0.
 	c. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 3 (1 điểm) 
 Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số ban đầu.
Câu 4 (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh: 
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương và a+b+c = 1. 
Chứng minh rằng:
 ------- Hết ------
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(3 điểm)
1. a) x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 
 	= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
 	= (x2+2)2 – (2x)2
 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 
 = (x2 + 2x + 2).(x2 - 2x + 2)
 b) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
 	= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
 	= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
 	= (x2 + 7x + 11)2 - 52
 	= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
 = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
0,5 điểm
0,5 điểm
2. 
 (*)
Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0	 	
nên (*) (x - 5)(x + 6) = 0 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 	
1 điểm
3. Nhân cả 2 vế của: 
với a + b + c; rồi rút gọn A = 0.	
1 điểm
Câu 2
(2 điểm)
Biểu thức: 
a. Rút gọn được kết quả: với 
1,0 điểm
b. 
0,5 điểm
c. 
0,5 điểm
Câu 3
(1 điểm)
Gọi tử số của phân số cần tìm là x (
Thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. 
Phân số cần tìm là (x là số nguyên khác -11)
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số (x khác -15)
Theo bài ra ta có phương trình =
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)
Từ đó tìm được phân số 
1 điểm
Câu 4
(3 điểm)
0,25 điểm
a. Chứng minh: 	
 đpcm
1 điểm
b. DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm
1 điểm
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
 không đổi
 lớn nhất (AEMF là hình vuông)
 là trung điểm của BD.
0,75 điểm
Câu 5
(1 điểm)
 Chứng minh bài toán 1: với x, y >0
Áp dụng bài toán 1: 
Áp dụng bài toán 1: 
 (2) (vì a+b+c = 1)
Từ (1) và (2) suy ra 
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1/3
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ