Đề thi học sinh giỏi năm học : 2013 - 2014 thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG THCS CAO AN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC : 2013 - 2014
Thời gian làm bài: 90 phút
(Đề này gồm 05 câu 01 trang)
Câu 1 (2 điểm): Giải các phương trình sau:
	a) 
	b) 
Câu 2 (2 điểm): Chứng minh rằng:
	luôn luôn là một số tự nhiên với mọi x
Câu 3 (1,5 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
	Nếu tử của một phân số tối giản bé hơn 1 được nâng lên lập phương còn mẫu của nó được tăng thêm 3 đơn vị thì phân số đã cho tăng lên gấp ba lần. Tìm phân số đó.
Câu 4 (1,5 điểm): Cho a, b, c ≠ 0 và a3 + b3 + c3 = 3abc.
	Tính giá trị của biểu thức:
Câu 5 (3 điểm): Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Điểm H thuộc đoạn DI sao cho AH vuông góc với DI. Chứng minh:
	a) Tam giác CHD cân.
	b) Tính diện tích D CHD.
= = = Hết = = =
TRƯỜNG THCS CAO AN
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ HỌC SINH GIỎI 2013 - 2014
MÔN : TOÁN 8
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
a) ĐKXĐ: 
 (TMĐK)
Vậy 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b) 
Đặt 
được phương trình ẩn y : 
* y = 5 Þ x2 + x - 1 = 5 giải được x = 3 ; x = 2
* y = - 5 Þ x2 + x - 1 = - 5
 x2 + x + 4 = 0 (PT vô nghiệm)
Vậy 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2
Ta có : 
Ta có: 120 = 3.5.8 với 3, 5, 8 đôi một nguyên tố cùng nhau.
mà tích chia hết cho 5.
Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4.
Vậy 
Þ P luôn luôn là 1 số tự nhiên với mọi x.
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
3
+ Gọi phân số phải tìm là (a < b , ƯCLN (a, b = 1))
+ Theo bài ra có phương trình: 
Vì 
 + Nếu a = 1 (loại)
+ Nếu a = 2 Þ b = 9 ta được phân số (TM)
+ Nếu a ³ 3 Þ a2 ³ 3a + 9 (vô lý)
Vậy phân số cần tìm là : 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4
Ta có: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+ b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc
= [(a + b)3] - (3a2b + 3ab2 + 3abc)
= (a + b + c) [(a + b)2 - c (a + b) + c2] - 3abc (a + b + c)
= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)
= (a + b + c) [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2] 
+ Nếu a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 Þ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 
Þ (a + b + c) [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2] = 0
Nếu a + b + c = 0 thì a + b = - c , b + c = - a , a + c = - b
Khi đó: 
 = 1
+ Nếu a = b = c thì A = (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 2.2.2 = 8
Vậy A nhận hai giá trị là - 1 và 8
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
5
Vẽ hình đúng 
0,25
a) + Gọi E là trung điểm của AD
Þ DE = EA = AI = IB
Þ DDAI = DCDE (c.g.c)
Þ CE = DI (cạnh tương ứng)
+ Chứng minh được CE ^ DI
Gọi giao của CE với DI là K Þ CE // AH.
+ DDAH có KE là đường trung bình
Þ CK là đường trung trực của DH.
Þ DCHD cân tại C.
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
b) + Ta có: SCHD = CK . DK (1)
+ Xét DEDC vuông tại D nên:
 Þ 
+ DCDK ~ DCDE (g.g)
 (2)
+ Xét DDKC vuông tại K có:
 (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
= = = Hết = = =