Đề thi học sinh giỏi môn thi : Toán - Lớp 8 thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

PHềNG GIÁO DỤC HUYỆN CẨM GIÀNG
Trường THCS Kim Giang
NĂM HỌC: 2013 - 2014
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Mụn thi : Toỏn - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150ph (khụng kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm cú: 01 trang
Cõu 1(2đ) : Giải phương trỡnh:
a/ 
b/ 
Cõu 2(2đ) : : 
a/ Tỡm x Z để A Z.	A = 
b/ Cho ba số a, b, c thoả món: a2 + b2 + c2 = . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: B = a2 + b2 + c2 - (a + 2b + 3c) + 2017
Cõu 3 (1,5đ : 
Một ca nụ xuụi dũng 9km và quay trở về đi ngược dũng đến một địa điểm cỏch chỗ xuất phỏt ban đầu 1km thỡ dừng lại. Tớnh vận tốc của ca nụ khi nước yờn lặng, biết vận tốc dũng nước là 2km/h, thời gian xuụi dũng ớt hơn thời gian ngược dũng là 15 phỳt.
Cõu 4(3đ): Cho ABC cú 3 gúc nhọn, cỏc điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của BC và AC. Gọi H, O, G theo thứ tự là trực tõm, giao điểm cỏc đường trung trực, trọng tõm của ABC. Chứng minh:
a) AHB MON	b) HAG OMG	 c) Ba điểm H, G, O thẳng hàng
Cõu 5 (1,5đ): 
a/ Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương n thỡ: 
Sn = 
b/ CMR: n N thỡ: A = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 là một số chớnh phương.
-------------------- Hết --------------------
đáp án - biểu điểm đề thi học sinh giỏi 
Mụn Toỏn: - Lớp 8
Năm học: 2013 – 2014
Câu
Nội dung
Điểm
1a
a/ 
 ĐK x 
0,25đ
0,25đ
 (x-13)(x+27) =0
 0,25đ
 	Vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm x = 13; x = - 27. 
 0,25đ
1b
0,25đ
0,25đ
0,25đ
 Vỡ 
Vậy phương trỡnh cú 1 nghiệm x = -2013 
0,25đ
2a
A = 
A = 	ĐK: x ; x 	 
0,25đ
=	==	
0,25đ
Để A Z 2 2x - 1 2x - 1 Ư(2) = 
0,25đ
 2x - 1 = 1 x = 1 ( TMĐK)
 2x - 1 = - 1 x = 0 ( loại)
 2x - 1 = 2 x = (loại)
 2x - 1 = - 2 x = - ( loại)Vậy với x = 1 thỡ A Z.	
0,25đ
Ta cú: a2 + b2 + c2 = 
3a2 + 3b2 + 3c2	= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc	
a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ca + a2 = 0
(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0	
 0,25đ
2b
 0,25đ
 B = a2 + b2 + c2 - (a + 2b + 3c) + 2017
 = 3a2 - 6a + 2017 = 3(a - 1)2 + 2014 2014 a	
 0,25đ
 MinB = 2014 a - 1 = 0 a = 1
	Vậy MinB = 2014 a = b = c = 1.	
 0,25đ
3
 Gọi vận tốc của ca nụ khi nước yờn lặng là x km/h, x > 2
Vận tốc của ca nụ xuụi dũng là x + 2 (km/h)
 Thời gian của ca nụ xuụi dũng là (h)
 Vận tốc của ca nụ ngược dũng là x – 2 (km/h)
 Thời gian của ca nụ ngược dũng là (h)
 Đổi 15 phỳt = h
 Theo bài ra ta cú phương trỡnh: - = 
	Giải PT đỳng được: x = 10 ( TMĐK); x = - 14 (loại) 
	Vậy vận tốc của ca nụ khi nước yờn lặng là 10 km/h. 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ 
Hỡnh vẽ
0,25đ
4a
Xột AHB và MON 
Ta cú MN // AB ( MN là đường trung bỡnh của ABC)
0,25đ
 AH // MO ( cựng vụng gúc với BC)
 BH // NO ( cựng vuụng gúc với AC)
0,25đ
, (cỏc gúc cú cặp cạnh tương ứng song song )
0,25đ
 AHB đồng dạng với MON ( g.g)
0,25đ
4b
Từ AHB đồng dạng với MON (CMT)
 ( vỡ AB = 2MN, tớnh chất đường TB của tam giỏc)
0,25đ
Mặ khỏc, vỡ G là trọng tõm ABC nờn 
0,25đ
Xột AHG và OMG cú: 
( CMT)
( so le trong)
0,25đ
 AHG đồng dạng với OMG ( c.g.c)
0,25đ
4c
Từ AHG đồng dạng với OMG ( CMT)
0,25đ
Mà ( vỡ A, G, M thẳng hàng)
0,25đ
 hay H, G, O thẳng hàng.
0,25đ
5a
Sn = (1)
Với n = 1 ta cú VT = 13 ; VP = => VT = VP
 => (1)đỳng với n = 1.
0,25đ
Giả sử (1) đỳng với n = k ( )
Sk = 
Ta phải chứng minh: 
Sk+1 = 
0,25đ
Thật vậy: Sk+1 = Sk + (k+1)3 =+(k+1)3 
 =
Vậy (1) đỳng với mọi số nguyờn dương n.
0,25đ
0,25đ
5b
 A = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 
Ta cú: A = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1	
 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
 = (n2 + 3n + 1)2	Vì n N A là số chớnh phương.	
0,25đ
0,25đ
L ưu ý:
Học sinh trỡnh bày cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa.