Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Tân Phú, VÒNG 2 (15-16) Thời gian: 150 phút Bài 1: Cho xyz =1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 x xy 1 y yz 1 z xz Bài 2: Giải phương trình: a) 2 2x 9 9x 1 20x 1 b) 2x 4 9x 1 x Bài 3: Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện: a b 1 . Tìm GTNN của biểu thức: 1 9 P a b a b Bài 4: Cho ABC cân tại A nội tiếp (O). Vẽ 2 đường cao BD và CE của ABC . Vẽ Cx tiếp tuyến tại C của (O), vẽ AH vuơng gĩc với Cx tại H. Chứng minh: D,E, H thẳng hàng. Bài 5: Cho ABC cĩ 0ABC 30 . Về phía ngồi ABC dựng ACD đều. Chứng minh: 2 2 2 AB BC BD . Bài 6: Cho 2 hình chữ nhật cĩ kích thước 1 × 15 và 2 × 20 như hình vẻ tạo thành 1 gĩc 030 . Đặt hai cây thước lên mặt bàn. Tính diện tích phần mặt bàn bị che khuất. HẾT ĐỀ THI HSG LỚP 9 – QUẬN TÂN PHÚ - Vịng 2 (2015-2016) Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Tân Phú, VÒNG 2 (15-16) Bài 1: Cho xyz =1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 x xy 1 y yz 1 z xz Do xyz =1 nên ta cĩ : 1 1 1 yz 1 y 1 x xy 1 y yz 1 z xz yz xyz y xyz 1 y yz y zy xyz yz 1 y = yz 1 y 1 y yz y zy 1 =1 Bài 2: Giải phương trình: a) 2 2x 9 9x 1 20x 1 x 3 x 3 3x 1 3x 1 20x 1 2 23x 10x 3 3x 10x 3 20x 1 2 2 2 3x 3 100x 20x 1 2 2 2 2 2 3x 3 10x 1 0 3x 10x 4 3x 10x 2 0 2 2 5 13 5 19 x x 0 3 9 3 9 5 13 x 3 3 5 19 x 3 3 Vậy 5 13 5 19 S ; 3 3 3 3 b) 2x 4 9x 1 x 2 2 49x 4 0 x2x 2x 94 9x 9x 4 2x 1 x 1 x 9x 4 2x 81x 72x 16 1 x 1 x Hướng Dẫn Giải: ĐỀ THI HSG LỚP 9 – QUẬN TÂN PHÚ vịng 2 (2015-2016) Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Tân Phú, VÒNG 2 (15-16) 2 2 4 x 9 8 8 4 4 x x x x 9 9 9 9 1 2 x81x 72x 16 1 x 2x 9x 8 9x 9x 2 0 x 3 3 2 x 3 Vậy 8 2 S ; 9 3 Bài 3: Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện: a b 1 . Tìm GTNN của biểu thức: 1 9 P a b a b Ta cĩ: 2 2 2 b a b 9a a b1 9 16 16ab ab b 9a 9ab 16ab b 3a 0 a b a b ab a b ab a b (bđt đúng) Do đĩ: 1 9 16 1 9 16 16 a b a b P 16 a b 15 a b a b a b a b a b a b Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta cĩ: 16 16 16 16 a b 2 16 a b 6 a b 32 1 a b a b a b Ta cĩ: a b 1 15 a b 15 2 Từ (1) và (2), cộng vế theo vế, ta cĩ: P 17 . Vậy min P 17 . Dấu “=” xảy ra khi 1 a b 2 Bài 4: Cho ABC cân tại A nội tiếp (O). Vẽ 2 đường cao BD và CE của ABC . Vẽ Cx tiếp tuyến tại C của (O), vẽ AH vuơng gĩc với Cx tại H. Chứng minh: D, E, H thẳng hàng. x HO E D B C A Ta cĩ: AEH ACH tư ù giác AECH nội tiếp ACH ABC góc tại bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp khi cùng chắn AC AEH ABC mà ABC ACB ABCcân tai A nên AEH ACB Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Tân Phú, VÒNG 2 (15-16) Mặt khác: AED ACB(tứ giác BEDC nội tiếp) Nên AEH AED tia EH trùng tia ED D, E, H thẳng hàng. Bài 5: Cho ABC cĩ 0ABC 30 . Về phía ngồi ABC dựng ACD đều. Chứng minh: 2 2 2 AB BC BD . x K D B C A Trên nửa mặt phẳng bờ BC, về phía cĩ chứa điểm A, vẽ tia Bx BC tại B. Trên tia Bx lấy điểm K sao cho BK = BA. Ta cĩ: 0 0 0ABC ABK CBK 30 ABK 90 ABK 60 Mà BAK cân tại B (do BK = BA) nên BAK đều 0BAK 60 . Ta cĩ: 0 BAD BAC CAD KAC BAC BAD BAD KAC CAD BAD 60 Xét ACK và ADB , ta cĩ: AC AD ... AK AB ... ACK ADB c g c CK BD KAC BAD cmt . Xét BKC vuơng tại B, ta cĩ: 2 2 2BK BC CK (định lí Pitago) Mà BK AB (cách vẽ) và CK = BD (cmt) Nên 2 2 2AB BC BD . Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 Trang 5 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Tân Phú, VÒNG 2 (15-16) Bài 6: Cho 2 hình chữ nhật cĩ kích thước 1 × 15 và 2 × 20 như hình vẻ tạo thành 1 gĩc 030 . Đặt hai cây thước lên mặt bàn. Tính diện tích phần mặt bàn bị che khuất. 300 2*20 1*15 N H C D A B Gọi A, B, C, D như hình vẽ. Vẽ BN AD tại N. Xét NAB vuơng tại N, ta cĩ: 0 BN 2 1 2 sinNAB sin30 AB 4 AB AB 2 AB Vẽ AH DC tại H AH 1 Do ABCD là hình bình hành nên ABCD S AH.AB 1.4 4 (đvdt) Vậy diện tích cần tìm là: 21*15 2*20 4 51 cm HẾT
Tài liệu đính kèm: