CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) (NGÀY THI: 29/11/2014) Bài 1: Cho a, b, c khác 0 và a + b+ c = 0. Hãy chứng minh: 4 4 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 a b c 3 4 a b c b c a c a b Bài 2: Giải phương trình: 2x 1 x 2 2x 2 x x 2 1 8 Bài 3: Cho a, b dương. Hãy chứng minh: 2 a b a b 2a b 2b a 2 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 2x 1 A x 2 Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trên tia đối của tia DC lấy P, PM cắt AC tại Q. Chứng minh: MP.NQ = MQ.NP Bài 6: Tìm cặp số nguyên sao cho tích của nó bằng 7 lần tổng. HẾT ĐỀ THI HSG LỚP 9 VÒNG 2, QUẬN TÂN PHÚ (2014-2015) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) Bài 1: Cho a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Hãy chứng minh: 4 4 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 a b c 3 4 a b c b c a c a b Ta có: a + b + c = 0 3 3 3 3 3 a b c a b c a b 3ab a b c 3 3 3 3 3 3a b c 3ab a b a b c 3abc do a + b = c Ta có: a + b + c = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 2ab c a b c 2aba b c b c a b c 2bc a b c a 2bc c a b c a 2ca b c a b 2ca Ta có : 4 4 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 a b c VT a b c b c a c a b 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c = a b c a b c b c a b c a c a b c a b 4 4 4 2 2 2 3 3 3 a b c = 2ca 2ab 2ab 2bc 2bc 2ca 1 a b c 1 a b c 1 3abc 3 VP 4 bc ca ab 4 abc 4 abc 4 Vậy 4 4 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 a b c 3 4 a b c b c a c a b Bài 2: Giải phương trình: 2x 1 x 2 2x 2 x x 2 1 8 Điều kiện: x 1 0 x 1 x 2 x 2 0 x 2 Ta có: 2x 1 x 2 2x 2 x x 2 1 8 x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 2 8 ĐỀ THI HSG LỚP 9 (Vòng 2) Quận TÂN PHÚ – (2014-2015) HƯỚNG DẪN CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) 2 3 3 2 x 1 x 2 x 1 x 2 8 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2 x 1 x 2 x 2 4 2 x 1 x 2 2x 5 2x 5 0 4 x 1 x 2 4x 20x 25 5 x 332 x (nhận so với điều kiện x 2) 1633 x 16 Vậy 33 S 16 Bài 3: Cho a, b dương. Hãy chứng minh: 2 a b a b 2a b 2b a 2 Ta có: 2 a b a b 2a b 2b a 2 1 a b a b 2 ab a b 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 1 1 a 2 a a 1 1 14 4 a b a b a b a b 1 4 4 21 1 b 2 b b 4 4 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a b 2 ab 2 Từ (1) và (2), ta suy ra 1 a b a b 2 ab a b 2 Vậy 2 a b a b 2a b 2b a 2 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 2x 1 A x 2 Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 x 12x 1 2x 1 x 2 x 2x 1 A 1 1 0 A 1 x 2 x 2 x 2 x 2 Vậy max A 1. Dấu ''='' xảy ra khi x 1 0 x 1 Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2x 1 x 2 x 21 2x 1 1 x 4x 4 1 A 0 A 2 2 2x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 Vậy min 1 A . Dấu ''='' xảy ra khi x 2 0 x 2 2 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trên tia đối của tia DC lấy P, PM cắt AC tại Q. Chứng minh: MP.NQ = MQ.NP T Q O N M C A D B P ` Gọi T là giao điểm của QN và DC. Gọi O là giao điểm của AC và MN. Ta dễ chứng minh được tứ giác ANCM là hình bình hành. Do đó, O là trung điểm của MN. Ta có: OM QO ... OM ONPC QC mà OM ON ... nên PC = CT PC CTON QO ... CT QC Do đó, NPT cân tại N. NTP NPT Mà MNP NPT 2 góc so le trong và MN // PT QNP NTP 2 góc đồng vị và MN // PT nên MNP QNP MN là đường phân giác của MP NP NPQ tính chất đường phân giác trong NPQ MQ NQ MP.NQ = MQ.NP Bài 6: Tìm cặp số nguyên sao cho tích của nó bằng 7 lần tổng. Gọi a, b là 2 số cần tìm (a,b Z ) Theo đề bài, ta có: ab = 7(a+b) a 7 b 7 49 Do a, b là 2 số nguyên nên ta có bảng sau: a – 7 1 -1 49 -49 7 -7 b – 7 49 -49 1 -1 7 -7 A 8 6 56 -42 14 0 B 56 -42 8 6 14 0 Vậy các cặp số nguyên cần tìm là: (8;56), (56;8), (6;-42), (-42;6), (14;14), (0;0) HẾT
Tài liệu đính kèm: