Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 - 2016 thời gian làm bài 150 phút

PHÒNG GD&ĐT sẦM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Năm học 2015-2016
 Ngày thi : 20-01-2016
 Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1: (4,5 điểm):
a)Rút gọn biểu thức: P=
b) cho x; y là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
(x+)(y+) =2015 hãy tính x+y
Bài 2:( 5 điểm) giải phương trình:
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x2+1)( x2+y2)=4x2y
Bài 3: (3 điểm)
cho x,y là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện:
 x2 +y2 + với x+y chững minh là số hữu tỉ
cho bảng n2 ô vuông. Người ta viết vào các ô vuông đó các số từ 1 đến n sao cho mỗi hàng và mỗi cột đều chứa tất cả các số đó.Chứng minh rằng nếu n lẻ và bảng đối xứng đối với đường chéo thì trên đường chéo ấy có tất cả các số từ 1 đến n.
Bài 4 : 6 điểm:
Cho (O;R) đường kính AB. Kẻ bán kính OC vuông góc với AB. Lấy điểm I tủy ý trên đường kính AB Sao cho IA<IB dây MN AB tại I.( M cùng phía với C đối với AB). Trên đoạn MI lấy E khác M và I . Tia AE cắt (O) tại K. kẻ MH CO tại H.
Chứng minh: AM2=AE.AK ; và AE.AK +BI.BK =4R2
 Xác định vị trí của I Trên Đường kính AB sao cho : Chu vi tam giác MIO lớn nhất
Tìm Điểm M trên nửa đường tròn chứa C sao cho 2MA2=15 MH2
Bài5 (1,5 điểm) 
Cho x, y , z là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện: xyz =1 chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải
Bài 1a cần lưu ý chia 2 khoảng 12 được 2 giá trị.
b)nhân 2 vế với biểu thức liên hợp khác 0 của mỗi thừa số vế trái.
Bài 2: Điều kiện x bình phương 2 vế lưu ý x=1; x=-1 là nghiệm từ đó tìm được các nghiệm còn lại.
Câu b : lưu ý y>o. áp dụng BDDT Cauchy co mỗi thừa số của vế trái . chú ý điều kiện dấu bằng xảy ra và cần lấy 
Bài 3:
a)Chuyển vế biến đổi thành : suy ra xy+1=(x+y)2suy ra 
(còn nữa)
Câu 3b) chú ý rằng mỗi dòng ; mỗi cột đều chứa tất cả các số từ 1 đến n nên trên mỗi hàng hoặc mỗi cột các số từ 1 ; đến n chỉ được viết 1 lần. cho nên mỗi số từ 1 đến n được viết vào bảng n lầnlà một số lẻ (1)
Trên đường chéo là trục đối xứng của bảng gồm n ô được viết bởi n số. chia bảng thành 2 phần . 2ô đối xứng nhau qua đường chéo được ghi số giống nhau . coi đường chéo là bờ . thì sốlần lặp lại của mỗi số từ 1 đến n trên mỗi nửa hình vuông là như nhau nên mỗi số được hgi trong bảng không nằm trên đường chéo là số chẵn.
Giả sử số tự nhiên a (0<a<n+1) không nằm trên đường chéo thì số lần a được viết vào bàng là số chẵn mâu thuẫn với (1). 
Vậy trên đường chéo coa tất cả các số từ 1 đến n.
Bài 4:
b) đặt OI=x Ta có PABC= x++R Áp dụng BDDT Bu-Nhi-A Cốp-Xki cho 2 số hạng đầu ta được PABC dấu bằng xảy ra kho OI =
c) 2MA2=15MH2 ;nên 4R2-4Rx =15x2 từ đó tìm được x suy ra vị trí M
Câu 5 vì x; y; z >0 và xyz =1 nên tồn tại 3 số dương a; b; c sao cho x=a/b; y=b/c; z=c/a
Đưa theo BĐT Cau chy ta có x+y+z 
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz cho về trái ta có :
VT 
Dấu Bằng xảy ra khi x=y=z=1