Đề thi học sinh giỏi lớp 8 huyện Hoằng Hóa năm học 2014-2015 môn thi: Toán

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HểA
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
NĂM HỌC: 2014 -2015
Mụn thi: Toỏn 
 Ngày thi: 16/03/2015 
Thời gian làm bài: 150 phỳt ( khụng kể thời gian giao đề)
 ( Đề thi này cú 06 bài, gồm 01 trang )
Bài 1: (4,5 điểm). Cho biểu thức: .
a) Tỡm điều kiện xỏc định của Q, rỳt gọn Q. 
b) Tỡm x khi Q = . 
c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức Q.
Bài 2: (4,5 điểm).
a) Giải phương trỡnh: .
 	b) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: x3 – 2x2 – x +2
 	c) Tỡm cỏc giỏ trị x, y nguyờn dương sao cho: x2 = y2 + 2y + 13.
Bài 3: (4,0 điểm). 
a) Cho abc ≠ và . Chứng minh rằng a = b = c.
b) Cho số tự nhiên n > 3. Chứng minh rằng nếu 2n = 10a + b (a, b , 0 < b < 10) thì tích ab chia hết cho 6. 
Bài 4: (5,0 điểm). Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. Cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng: BD.DC = DH.DA.
b) Chứng minh rằng: .
c) Chứng minh rằng: H là giao điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc DEF.
d) Gọi M, N, P, Q, I, K lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BC, CA, AB, EF, FD, DE. Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy tại một điểm.
Bài 5: (1.0 điểm). Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú AB = AC =b ; BC = a. Đường phõn giỏc BD của tam giỏc ABC cú độ dài bằng cạnh bờn của tam giỏc ABC. Chứng minh rằng: .
Bài 6: (1,0 điểm). 
Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. Chứng minh rằng: .
Hết
Họ tờn thớ sinh :............ Giỏm thị số 1 :....
Số bỏo danh : ............... Giỏm thị số 2: ....
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 
 NĂM HỌC 2014-2015
 MễN: 
 Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang
Bài
 Nội dung cần đạt
Thang điểm
Bài 1
(4,5đ)
Đk: 
0,5
1,5
b) 
Suy ra x = -1 hoặc x = 2.
So sỏnh với điều kiện suy ra x = 2 thỡ Q = 
0,5
0,5
0,5
c) ; Vỡ 1 > 0; x2 – x + 1 = 
Q đạt GTLN đạt GTNN 
x= (t/m). Lỳc đú Q = 
Vậy GTLN của Q là Q = khi x= .
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 2
(4,5đ)
a) ĐK: 
Vậy phương trỡnh cú một nghiệm x = 0
0,25
0,5
0,5
0,25
b) Ta cú x3 – 2x2 – x + 2 = (x3-2x2)-(x-2)=x2(x- 2)-(x-2)
 =(x-2)(x2-1)
 = (x-2)(x-1)(x+1).
0,5
0,5
0,5
c)Ta cú x2 = y2 + 2y + 13 Û x2 = (y + 1)2 + 12 
 Û (x + y + 1)(x - y – 1) = 12
Do x + y + 1 – (x - y – 1) = 2y + 2 là số chẵn và x , y ẻ N* nờn 
x + y + 1 > x – y – 1 . Do đú x + y + 1 và x – y – 1 là hai số nguyờn dương chẵn. 
Từ đú suy ra chỉ cú một trường hợp: x + y + 1 = 6 và x – y – 1 = 2 
Û x = 4 và y = 1. Vậy (x; y) = (4; 1).
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(4,0đ)
a) Từ . 
Do đú:
; ; 
Suy ra: (a – b)(b – c)(c – a) = 
Û(a – b)(b – c)(c – a)(a2b2c2 - 1) = 0 
ị (a - b)(b – c)(c – a) = 0 (do abc ≠ 1)
Suy ra a = b = c
0,5
0,5
0,5
0,5
b) Ta cú 2n = 10a + b ị b 2 ị ab 2 (1)
Ta chứng minh ab 3 (2)
Thật vậy, từ đẳng thức 2n = 10a + b ị 2n cú chữ số tận cựng là b. 
Đặt n = 4k + r (k, r ẻ N, 0 Ê r Ê 3) ta cú: 2n = 16k2r. 
Nếu r = 0 thỡ 2n = 16k tận cựng là 6 ị b = 6 ị ab 6. 
Nếu 1 Ê r Ê 3 thỡ 2n - 2r = 2r(16k - 1) 10 ị 2n tận cựng là 2r 
suy ra b = 2r ị 10a = 2n - 2r = 2r(16k - 1) 3 ị a 3 ị ab 3.
Từ (1) và (2) suy ra ab 6
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
(5,0đ)
a) Chỉ ra được DBDH ~ DADC (g.g) 
ịBD.DC = DH.DA
0,5
0,5
0,5
b) Ta cú: 
Tương tự: ; .
Do đú 
0,5
0,5
0,5
c) Chứng minh được DAEF ~ DABC (c.g.c) 
Tương tự . Do đú: 
Mà = 900 nờn 
ị EH là phõn giỏc của gúc DEF. 
Tương tự FH là phõn giỏc của gúc EFD
Do đú H là giao cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc DEF.
0,25
0,25
0,25
0,25
d)
 Do DBEC vuụng tại E, M là trung điểm BC nờn EM = BC (trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Tương tự : FM = BC 
Do đú: DEMF cõn tại M, mà Q là trung điểm EF nờn MQ ^ EF 
ị MQ là đường trung trực của EF hay MQ là đường trung trực của tam giỏc DEF. 
Hoàn toàn tương tự, chứng minh được NI và PK cũng là đường trung trực của tam giỏc DEF nờn ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy tại một điểm.
0,5
0,5
Bài 5
(1,0đ)
Vẽ BH là đường cao của tam giỏc ABC. 
Tam giỏc BAD cõn tại B (BA=BD) cú BH là đường cao nờn cũng là đường trung tuyến 
.
Tam giỏc ABC cú BD là đường phõn giỏc , ta cú : 
Tam giỏc HAB vuụng tại H , theo đ/lý Pytago ta cú : (1)
Tam giỏc HBC vuụng tại H , theo đ/lý Pytago, ta cú 
Từ (1) và (2) ta cú : 
Vậy bài toỏn được c/m.
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 6
(1,0đ)
Do a, b > 0 và 1 + b2 ≥ 2b với mọi b nờn . 
Tương tự ta cú : ; 
mà a + b + c = 3 nờn (1)
Cũng từ a + b + c = 3 ị (a + b + c)2 = 9
 Û a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 9 
mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nờn a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy ra 3(ab + bc + ca) Ê 9 Û ab + bc + ca Ê 3 (2). 
Từ (1) và (2) suy ra đpcm. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. 
0,25
0,25
0,25
0,25
Ghi chỳ:
Học sinh làm cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa
Bài hỡnh nếu học sinh khụng vẽ hỡnh hoặc vẽ hỡnh sai cơ bản thỡ khụng chấm điểm.