Đề thi học sinh giỏi lớp 6 huyện Văn Lâm năm học 2014-2015 môn thi: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN VĂN LÂM 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 18/03/2015
Thời  gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)
Bài 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
Bài 2 (4,0 điểm)
a. Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50
b. Tìm các chữ số x; y để  chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
c. Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 - 1 chia hết cho 3.
Bài 3 (4,5 điểm)
a. Cho biểu thức: 
Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên.
b.Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2 + 117 = y2
c. Số 2100 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số .
Bài 4 (5,0 điểm)
Cho góc xBy = 550. Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A; C (A ≠ B; C ≠ B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho góc ABD = 300
a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.
b. Tính số đo của góc DBC.
c. Từ B vẽ tia Bz sao cho góc DBz = 900. Tính số đo góc ABz.
Bài 5 (2,0 điểm)
a. Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: 
b. Cho . Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5.
Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 
Bài 1 (4,5 điểm)
Bài 2 (4,0 điểm)
a. Biến đổi được: (x - 3)2 = 144 = 122 = (-12)2 ↔ x - 3 = 12 hoặc x - 3 = -12 ↔ x = 15 hoặc x = -9
Vì x là số tự nhiên nên x = -9 (loại). Vậy x = 15
b. Do  chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1. Ta có A = 
Vì A =  chia cho 9 dư 1 →  - 1 chia hết cho 9 → 
↔ x + 1 + 8 + 3 + 0 chia hết cho 9 ↔ x + 3 chia hết cho 9, mà x là chữ số nên x = 6
Vậy x = 6; y = 1
c. Xét số nguyên tố p khi chia cho 3.Ta có: p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ∈ N*)
Nếu p = 3k + 1 thì p2 - 1 = (3k + 1)2 -1 = 9k2 + 6k chia hết cho 3
Nếu p = 3k + 2 thì p2 - 1 = (3k + 2)2 - 1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3
Vậy p2 - 1 chia hết cho 3.
Bài 3 (4,5 điểm)
a. Để B nhận giá trị nguyên thì n - 3 phải là ước của 5
=> n - 3 ∈ {-1; 1; -5; 5} => n ∈ { -2 ; 2; 4; 8}
Đối chiếu đ/k ta được n ∈ {- 2; 2; 4; 8}
b. Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2 → y2 = 121 → y = 11 (là số nguyên tố)
* Với x > 2, mà x là số nguyên tố nên x lẻ y2 = x2 + 117 là số chẵn
=> y là số chẵn
kết hợp với y là số nguyên tố nên y = 2 (loại)
Vậy x = 2; y = 11.
c. Ta có: 1030= 100010 và 2100 =102410. Suy ra: 1030 < 2100 (1)
Lại có: 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125
Nên: 2100< 1031 (2). Từ (1) và(2) suy ra số 2100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số
UBND HUYỆN GIA VIỄN
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI KHẢO SÁT
CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 6
Môn: Toán
Năm học: 2014- 2015
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm). 
a. Tính giá trị của biểu thức 
	b. Tính giá trị của biểu thức B biết: B2 = c(a-b)- b(a-c) và a = -50, b-c =2. 
Câu 2. (4 điểm) 
a. Tìm số tự nhiên x,y biết: (2x+1)(y-3)= 12
b. Tìm số tự nhiên x biết: 
c. So sánh: 3625 và 2536 
Câu 3. (3 điểm) 
	Cho phân số: 
	a. Chứng minh rằng phân số p là phân số tối giản
	b. Với giá trị nào của n thì phân số p có giá trị lớn nhất? tìm giá trị lớn nhất đó.
Câu 4. (7,5 điểm) 
	1. Cho hai góc kề bù xOy và yOt, trong đó xOy =400. Gọi Om là tia phân giác của yOt.
	a. Tính mOx ?
	b. Trên nửa mặt phẳng không chứa tia Oy và có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ tia On sao cho xOn=700 . Chứng tỏ tia Om và tia On là hai tia đối nhau
	2. Vẽ đoạn thẳng AB =6cm. Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC+BD= 9cm
a. Chứng tỏ D nằm giữa A và C
b. Tính độ dài đoạn thẳng CD
Câu 5. (1,5 điểm) 
	Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn : 2x+3y= 14
---------------- Hết ----------------
UBND HUYỆN GIA VIỄN
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT
CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 6
Môn: Toán
Năm học: 2014- 2015
(Hướng dẫn này gồm 05 câu, 05 trang)
CHÚ Ý : 
 - Nếu HS làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó 
 - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đó
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
a. 
1
0.5
0.5
0.5
b. B2= c(a-b)-b(a-c) = ca-cb-ba+bc=ca-ba=a(c-b)
thay a=-50, b-c=2 vào ta được B2=-50.(-2)=100
do nên B=10
0.5
0.5
0.5
Câu 2
a. (1,5 điểm)
 (2x+1)(y-3)= 12
Với Þ 2x+1 là số lẻ. 
Ta có: 12 =1.12=3.4 
 2x+1=1Þ 2x=0Þ x=0; y-3=12 Þ y=15
 2x+1=3Þ 2x=2Þ x=1; y-3=1 Þ y=4
Vậy x=0 và y=1 hoặc x=1 và y=4
0.25
0.25
0.25
0.25
0. 5
b. (1,25 điểm)
 Ta có :
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
c. (1 điểm) 
3625 = (18.2)25 =1825 .225 =1825 .26 .219
2536 =2525.2511= 2525.522= 2525.53.519 
ta có: 53=125, 26=64, Þ 53>26
 2525>1825; 519>219
Vậy 2525.53.519 >1825 .26 .219 hay 3625 <2536
0.25
0.25
0.25
0. 5
Câu 3
a. Gọi d là UC của 6n+5 và 3n+2
ta có: và 
Vậy phân số là phân số tối giản
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
b. Ta có 
p đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất, khi đó 3n+2 đạt giá trị nhỏ nhất
vì nên 3n+2 nhỏ nhất bằng 2 khi 3n=0 hay n=0
Vậy với n=0 thì p đạt giá trị lớn nhất là 2+1/2=3/2
0.5
0.5
0.5
0.25
Câu 4
1(4 điểm).
a. Ta có ÐxOy + ÐyOt=1800
(Vì 2 góc kề bù)
Thay ÐxOy = 400 ta có:
400+ÐyOt= 1800
suy ra ÐyOt=1400
Ta có: Om là tia phân giác của ÐtOy nên 
Vì 2 góc xOy và yOt kề bù nên Ox và Ot là hai tia đối nhau
suy ra ÐtOm và ÐmOx là hai góc kề bù
ÞÐtOm + ÐmOx = 1800
700 + ÐmOx = 1800
ÐmOx = 1800-700= 1100
b. Ta có ÐmOx+ ÐxOn = 1100+ 700=1800
Þ ÐmOx và ÐxOn là hai góc bù nhau (1)
- Do Om và Oy cùng thuộc nửa mp có bờ là đường thẳng chứa tia Ox; - Lại có On và Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa tia Ox
nên: Om và On nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa tia Ox
Þ ÐmOx và ÐxOn là hai góc kề nhau (2)
Từ (1) và (2) suy ra ÐmOx và ÐxOn là hai góc kề bù.
Vẽ hình 0,5
0.25
0. 5
0.25
0. 5
0.5
0.5
0.5
0.5
2. (3,5đ)
- Vì D nằm giữa A và B nên: AD+DB=AB
Thay AB= 6cm ta có AD+DB = 6 (cm)
Lại có AC+DB=9cm (gt)
Þ AD+DB< AC+DB hay AD<AC (1)
- Mà D và C cùng nằm giữa A và B hay D,C cùng thuộc tia AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra D nằm giữa A và C
b, Vì D nằm giữa A và C suy ra: AD+DC= AC
Lại có AC+BD= 9
nên AD+DC+BD = 9 hay (AD+DB)+DC =9
Thay (AD+DB)=6
ta có 6+DC=9 vậy DC= 3(cm)
Vẽ hình 
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
Câu 5
 Xét 2x+5y= 14
Ta có: 
Do (5,2)=1 nên 
Ta có 3y<14 Þ y<14 :5 Þ 
Mà y là số nguyên dương và nên y = 2
ta có 2x+5.2=14Þ 2x=4Þ x=2
vậy x=2, y=2
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
---------------- Hết ----------------