Đề thi học sinh giỏi Lớp 10 thpt năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
 HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút 
Ngày thi: 06/04/2016
 (Đề thi gồm 01 trang)
Câu I(2,0 điểm)
	Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm và có hệ số góc là . Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là .
	1) Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.
2) Chứng minh rằng 
Câu II(3,0 điểm)
	1) Giải phương trình: 
	2) Giải hệ phương trình: 
Câu III(4 điểm)
	1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh , chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm . Viết phương trình của đường thẳng BC.
	2) Cho tam giác ABC có (b ≠ c) và diện tích là . Kí hiệu lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C. Biết rằng . 
a) Chứng minh rằng 
b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC; M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng góc không nhọn.
Câu IV(1 điểm)
Cho là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 
-----------------------Hết-----------------------
Họ và tên thí sinh:..; Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1:..; Chữ ký của giám thị 2:.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
 HẢI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm  trang)
Câu
Nội dung
Điểm
I
Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm và có hệ số góc là . Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là .
	1) Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.
1,0
+ Đường thẳng (d) có pt: 
0,25
+ PT tương giao (d) và (P): 
0,25
+ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt vì 
0,25
+ Trung điểm M của AB có hoành độ là ; M nằm trên trục tung 
0,25
 2) Chứng minh rằng 
1,0
Theo Vi et có: 
0,25
Ta có: = 
0,25
Có 
0,25
= , . Đẳng thức xảy ra khi k = 0 
0,25
II
1) Giải phương trình: (1)
1,5
 Điều kiện: 
0,25
(1)
0,25
0,25
Với x=1: VT(*)= 2=VP(*) nên x=1 là một nghiệm của (*)
0,25
Nếu x>1 thì VT(*)<2<VP(*)
0,25
Nếu x2>VP(*). Vậy (1) có 2 nghiệm x=0; x=1
0,25
2) Giải hệ phương trình: 
1,5
0,25
Đặt . Hệ trở thành: (*)
0,25
Hệ 
Từ đó tìm ra 
0,25
Với ta có hệ .
0,25
Với ta có hệ .
0,25
Với ta có hệ .
Kết luận: Hệ có 5 nghiệm .
0,25
III
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh , chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm . Viết phương trình của đường thẳng BC.
1,5
Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính IA 
0,25
Đường thẳng AD đi qua A và có VTCP 
 là véc tơ pháp tuyến của AD
PT đường thẳng AD là: 
0,25
A’ thuộc AD và IA’=IA, Tìm được 
0,25
 A’ là trung điểm cung không chứa A nên IA’BC
0,25
đường thẳng BC đi qua D và có là vecto pháp tuyến
 0,25
Từ đó viết được pt đường thẳng BC là: 
0,25
2) Cho tam giác ABC có (b ≠ c) và diện tích là . Kí hiệu lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C. Biết rằng (*) 
a) Chứng minh rằng 
1,5
Viết được công thức các trung tuyến
0,25
(*)
0,25
(**)
0,25
Ta có 
0,25
0,25
Từ (**) Hay 
0,25
2b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC; M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng góc không nhọn.
1,0
Ta sẽ chứng minh 
0.25
Ta có 
0.25
* Mặt khác ta có 
( trong đó R= OA = OB = OC ).
Tương tự có .
0.25
Vậy ( do có (**))
0.25
IV
Cho là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 
1,0
* Bđt phụ: Cho các số thực x, y, z > 0, a, b, c là các số thực bất kì. Khi đó 
 (*)
Dấu bằng xảy ra khi .
+ Dễ thấy bđt trên suy ra từ bđt Bunhia
* Vào bài chính
Ta sẽ chứng minh 
 .
0,25
0,25
Giả sử .
Biến đổi .
Biến đổi tương tự với 2 số hạng còn lại của P.
Sau đó áp dung bđt (*) ta có: 
0,25
Ta sẽ chứng minh 
Bđt cuối cùng đúng, suy ra đpcm.
0,25
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.