Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2015 - 2016 môn: Toán lớp 8 thời gian làm bài: 150 phút

1/4 
PHÒNG GD&ĐT 
TƯ NGHĨA 
CẤP 2 NGHĨA 
THẮNG 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2015-2016 
Môn: Toán lớp 8 
Thời gian làm bài: 150 phút 
Bài 1: (5 điểm) 
 a/ Tìm a và b để đa thức   6 2ax x+2G x x b   chia hết cho đa thức   2 1P x x x   
 b/ Cho biểu thức M=
3 4 3 4 3 4
2 2 4 2 2 4 2 2 4
xy x y yz y z zx z x
xy x y yz y z zx z x
        
 
        
 Chứng minh giá trị của biểu thức M luôn là một số nguyên với x  2 và y 2. 
Bài 2: (4 điểm) 
 a/ Tìm x, y nguyên dương biết 23 112x y  
 b/ Cho a, b, c thỏa mãn 2 2 2 2a b c a b c      
 Chứng minh M=    2 2 21 1 1a b c   viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức. 
Bài 3: (4 điểm) 
 a/ Chứng minh biểu thức sau luôn nhận giá trị dương với mọi x, y 
 N= 2 22 7 6 10 30 45x y xy x y     
 b/ Cho a, b, c thỏa mãn      
2 2 2
4a b c b c a c a b abc      và 2014 2014 2014 1a b c   
 Tính giá trị biểu thức M=
4 4 2016
1 1 1
a b c
  
Bài 4: (6 điểm) 
 Cho hình chữ nhật ABCD (AD<AB), gọi O là giao điểm của AC và BD. Qua O kẻ đường thẳng vuông 
góc với BD cắt AB, DC và BC lần lượt tại tại M, N và T. Qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DA 
và BD tại lần lượt tại E và I , vẽ hình chữ nhật AEFM. 
 a/ Chứng minh AF song song với DB 
 b/ Chứng minh F và C đối xứng qua I 
 c/ Gọi H và G lần lượt là trung điểm của AD và DC. Chứng minh TG vuông góc với MH 
Bài 5: (1 điểm) Tìm x, y nguyên thỏa mãn  2 2( 3)x y y y x   
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015-2016 
MÔN: TOÁN LỚP 8 
Câu Nội Dung Điểm 
Bài 1 5đ 
a/ 
2,5đ 
Ta có   6 2 6 2ax x+2=( 1) ax x+3G x x b x b      
Ta có       6 3 3 2 3 21 1 1 1 1 1 ( 1)x x x x x x x x x           
Vây để G(x) chia hết cho x2-x+1 thì ax2+bx+3 phải chia hết cho x2-x+1 
Ta có ax
2
+bx+3 chia cho x
2
-x+1 được thương là a dư (a+b)x+3-a 
Nên để ax2+bx+3 chia hết cho x2-x+1 thì (a+b)x+3-a=0 với mọi x  3a  và 3b   
0,75đ 
0,25đ 
0,75đ 
0,75 
b/ 
2,5đ 
Ta có M=
3 4 3 4 3 4
( 1) ( 1) ( 1) 3
2 2 4 2 2 4 2 2 4
xy x y yz y z zx z x
xy x y yz y z zx z x
        
     
        
=
3 4 2 2 4 3 4 z+2y+2z-4 3 4 x+2z+2x-4
3
2 2 4 2 2 4 2 2 4
xy x y xy x y yz y z y zx z x z
xy x y yz y z zx z x
              
  
        
= 3
( 2) 2( 2 ( 2) 2( 2) ( 2) 2( 2)
y x z y x z
x y y y z z z x x
  
  
        
=
 
( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
3
( 2) 2 ( 2)( 2) ( 2)( 2)
y x z y x z
y x z y x z
        
  
     
0,5 đ 
0,5đ 
0,5đ 
0,5đ 
2/4 
=
1 1 1 1 1 1
3 3
2 2 2 2 2 2x y y z z x
      
     
Ta có M=3 Vậy M luôn là một số nguyên với x  2 và y 2. 
0,25đ 
0,25đ 
Bài 2 4đ 
a/ 
2đ 
-Nếu x lẻ 
2 1x k    2 1 1 23 112 3 112 3 9 1 3 112 3 (9 1)(9 9 ... 1) 3 112x K k k k                  
 =24q+3+112=4(8q+28)+3 chia cho 4 dư 3 
 3 112x  chia cho 4 dư 3 2y chia cho 4 dư 3 vô lý vì số chính phương chia cho 4 
chỉ dư 0 hoặc 1. 
Vậy x phải chẵn 2x k với k nguyên dương 
Vây ta có   2 23 112 3 3 112k k ky y y      112 3ky  
Vì  
2
3 3 3 112 3 10k k k ky y y y         3 14,28,56,112ky   
-Nếu 3 14 3 8 2 22 11 2k ky y y y x           
-Nếu 3 28 3 4 2 32 16 3 144k k xy y y y           (loại) 
-Nếu 3 56 3 2 2 58 29 6k ky y y y x           
-Nếu 
112
3 112 3 1 2 113
2
k ky y y y         (loại) 
Vây ta có (2;11) ; (6;29) thõa mãn dầu bài 
0,5đ 
0,5đ 
0,75đ 
0,25đ 
b/ 
2đ 
Vì 2 2 2 2a b c a b c      
     
2 2 2 2 2 4 2 2a b c a b c ab bc ca ab bc ca              1ab bc ca    
Nên ta có 2 21 ... ( )( )a a ab bc ca a b a c         
Tương tự ta có      2 21 ; 1b b c a b c a c b c        
Vây ta có M=    
2
a b b c a c     .Vậy M viết được dưới dạng bình phương của một biểu 
thức 
0,5đ 
0,5đ 
0,5đ 
0,5đ 
Bài 3 4đ 
a/ 
2đ 
Ta có N= 2 22 7 6 10 30 45x y xy x y     
 2N= 2 24 14 12 20 60 90x y xy x y     
 =. =    
2 2
2 3 5 5 3 20 0x y y      với mọi x, y vì. 
Vì 2N>0N>0 
Vậy Biểu thức N luôn nhận giá trị dương với mọi x, y 
1,5đ 
0,25đ 
0,25đ 
b/ 
2đ 
Ta có      
2 2 2
4a b c b c a c a b abc      
 
       
       
 
2 2 2 2 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 4 0
0 0
0 ( ) 0
0
( ) ( ) 0 ( )( )( ) 0 0
0
a b c bc abc a b a c abc b c abc
a b c bc a b a c b c a b c b c bc a b a c
a b c bc b c a b c b c ab ac bc a
a b
b c a a c b a c a b b c a c b c
a c
         
             
            
 
                
  
-Nếu a+b=0 2013 2013 2013 2013 0a b a b a b        mà 2013 2013 2013 1a b c   
1đ 
0,5đ 
3/4 
2013
2015
1
1 1 1c c
c
      . Vì a b  
2015 2015 2015 2015 2015
1 1 1 1 1
1 1M
a b c b b

        
-Nếu b+c=0 hoặc a+c=0 là tương tự ta đều tính được M=1. Vậy M=1 
0,5đ 
Bài 4 6 
a/ 
2đ 
Gọi K là giao điểm của AF và EM ta có KE=KA (.) 
 EKA cân 1 1E A  
Tương tự AOD cân 2 1A D  . 
Ta có EM//AC ()
1 2 1 1(...)E A A D    ( mà ) 
Vậy AF//DB 
0,5đ 
0,5đ 
0,5đ 
0,5đ 
b/ 
2đ 
C/m được AKIO là hình bình hành KFIO là là hình bình hànhFI//KO 
Chỉ ra OK là đường TB của tam giác AFCFC//KO FIFC  F, I, C thảng hàng 
Chi ra FI=KO=
2
FI
IF=IC 
Vậy F và C đối xứng qua I 
1đ 
0,5đ 
0,5đ 
c/ 
2đ 
Gọi P là trung điểm của BC ta có OH, OP là đường trung bình của ;DAC DBC  
1 1
// ; // , ,
2 2
OH DC OP DC H O P    thẳng hàng và OH=OP 
Ta có AOM CON   (gcg) OM ON HMPN   là hình bình hành //NP MH 
Ta có GP là đường TB của tam giác DCB GP//DB, gọi Q là giao điểm của TO với GP 
Vì TO vuông góc với DB nên TQ GP N là trực tâm tam giác PGCTG NP 
Mà //NP MH TG MH  
0,75đ 
0,75đ 
0,5đ 
Bai 5 1đ 
 Ta có  2 2 2 2 2 2( 3) 3x y y y x x y x y xy       
2 2 2 2 2 2 2 2 24 12 4 4 4 11 4 4x y x y xy x y x y xy x         
 
22 2(4 11) 2x y x y    
-Nếu 0 0x y   ta có (0;0) là nghiệm của PT 
-nếu 20 4 11x y   là số chính phương 2 24 11y a   với a z 
 2 (2 ) 11y a y a    
Giải PT này tìm được (1;3) và (-1;-3) là nghiệm của PT 
0,25đ 
0,25đ 
0,25đ 
0,25đ 
I
K
Q
FE
P
O
G
H
T
N
M
D C
B
A
4/4