Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 7 - Năm học 2021-2022

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI 
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ 
NĂM HỌC 2021 - 2022 
Môn thi: Toán - Lớp 7 
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng 
Ngãi.Điện thoại : 0708127776 
Bài 1. (4,0 điểm) 
1. Chứng tỏ rằng: E = 71 + 72 + 73 + 74 +. + 74n-1 + 74n 400. 
2. Tìm x, y, z nguyên dương thỏa mãn x y z xyz   . 
Bài 2. (4,0 điểm) 
1. Tính giá trị của biểu thức 
12 7 15 8
24 14 12 5
15.4 .9 4.3 .8
.
19.2 .3 6.4 .27
A



2. Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài của ba cuộn là 186 mét. Giá tiền của mỗi 
mét vải của ba cuộn là như nhau. Sau khi bán được 1 ngày, cửa hàng còn lại 
2
3
 cuộn vải thứ 
nhất, 
1
3
 cuộn vải thứ hai, 
3
5
 cuộn vải thứ ba. Số tiền bán được của ba cuộn vải tỉ lệ với 2:3:2. 
Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được bao nhiêu mét vải của mỗi cuộn vải? 
Bài 3. (4,0 điểm) 
1. Tìm GTNN của biểu thức 
6 2022 14
2 2022 14
y
E
y
 

 
. 
2. Cho , , 0a b c  và 
2022 2022 2022a b c b c a c a b
a b c
c a b
     
     . 
 Tính 2022 2022 2022
a b c
P
b c a
   
      
   
. 
Bài 4. (7,0 điểm) 
1. Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy 
điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần 
lượt ở M và N, gọi I là giao điểm của BC và MN. Chứng minh rằng: 
a. DM = EN. 
b. I là trung điểm của MN. 
c. Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay 
đổi trên cạnh BC. 
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, 15 .C Trên tia BA lấy điểm O sao cho 2BO AC . 
Chứng minh rằng tam giác OBC cân. 
Bài 5. (1,0 điểm) 
Cho a; b; c; d > 0. 
Chứng minh rằng: 1 2
a b c d
a b c b c d c d a d a b
    
       
------ HẾT ------ 
 Họ và tên thí sinh: ................................................................................. SBD ..................................... 
Chữ kí giám thị: 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI 
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ 
NĂM HỌC 2021 - 2022 
Môn thi: Toán - Lớp 7 
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Bài 1. (4,0 điểm) 
1. Chứng tỏ rằng: E = 71 + 72 + 73 + 74 +. + 74n-1 + 74n 400. 
2. Tìm x, y, z nguyên dương thỏa mãn x y z xyz   . 
1.Ta có : 400 = 1 + 7 + 7
2
 + 7
3
 nên : 
E = (7
1
 + 7
2 
 + 7
3
 + 7
4
) + 7
4
. (7
1
 + 7
2 
 + 7
3
 + 7
4
) + + 74n-4. (71 + 72 + 73 + 74) 
 = (7
1
 + 7
2 
 + 7
3
 + 7
4
). (1+7
4
 + 7
8
 + +74n-4) 
 = 7.(1 + 7
1
 + 7
2 
 + 7
3
 ). (1+7
4
 + 7
8
 + +74n-4) 
 = 7.(1 + 7 + 49
 + 343 ). (1+7
4
 + 7
8
 + +74n-4) 
 = 7.400 . (1+7
4
 + 7
8
 + +74n-4)  400 
 => E  400 
2. Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử 1 x y z 
Theo bài suy ra 1
x y z
xyz
 
 
1 = 
1
yz
 +
1
yx
+ 
1
zx
  
2
1
x
 +
2
1
x
 +
2
1
x
 = 
2
3
x
 => x 
2
 3 => x = 1 
Thay vào đầu bài ta có 1 y z yz   => y – yz + 1 + z = 0 
 => y(1-z) - ( 1- z) + 2 =0 
 => (y-1) (z - 1) = 2 
TH1: y -1 = 1 => y =2 và z -1 = 2 => z =3 
TH2: y -1 = 2 => y =3 và z -1 = 1 => z =2 
Vì vai trò x, y, z như nhau nên các cặp số nguyên (x,y,z) thỏa mãn là (1,2,3); (1,3,2) 
(2,1,3); (2,3,1); (3,2,1); (3,1,2) 
Bài 2. (4,0 điểm) 
 1. Tính giá trị của biểu thức 
12 7 15 8
24 14 12 5
15.4 .9 4.3 .8
.
19.2 .3 6.4 .27
A



 2. Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài của ba cuộn là 186 mét. Giá tiền của mỗi 
mét vải của ba cuộn là như nhau. Sau khi bán được 1 ngày, cửa hàng còn lại 
2
3
 cuộn vải thứ 
 nhất, 
1
3
 cuộn vải thứ hai, 
3
5
 cuộn vải thứ ba. Số tiền bán được của ba cuộn vải tỉ lệ với 2:3:2. 
Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được bao nhiêu mét vải của mỗi cuộn vải? 
1.Ta có: 
12 7 15 8
24 14 12 5
15.4 .9 4.3 .8
19.2 .3 6.4 .27
A



 
 
24 15 26 15
24 14 25 16
24 15 2
24 24 2
5.2 .3 2 .3
19.2 .3 2 .3
2 .3 5 2
2 .3 19 2.3
3
3
1






 
2. Gọi chiều dài của 3 cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là a,b,c. 
Sau 1 ngày cửa hàng bán được số vải của các cuộn là: 
Cuộn thứ nhất: 
2 1
( )
3 3
a a a m  ;Cuộn thứ hai: 
1 2
( )
3 3
b b b m  ; Cuộn thứ 
ba : 
3 2
( )
5 5
c c c m  
Do giá tiền của 1 mét vải của các cuộn bằng nhau nên số mét vải bán được của các cuộn tỉ lệ 
với số tiền bán được, mà số tiền bán được của các cuộn lại tỉ lệ với 2:3:2. Vậy số mét vải bán 
được của các cuộn tỉ lệ với 2:3:2, do đó 
Ta có: 
1 2 2
2 2 1863 3 5 12
2 3 2 6 9 10 6 4,5 5 6 4,5 5 15,5
a b c
a b c a b c a b c 
          
 
1
24
372
2
54 36
3
60
2
24
5
a
a
b b
c
c


 
 
    
  


Vậy trong ngày hôm đó cửa hàng bán được 24 mét vải cuộn thứ nhất; 36 mét vải cuộn thứ hai; 
24 mét vải cuộn thứ ba. 
Bài 3. (4,0 điểm) 
 1. Tìm GTNN của biểu thức 
6 2022 14
2 2022 14
y
E
y
 

 
. 
 2. Cho , , 0a b c  và 
2022 2022 2022a b c b c a c a b
a b c
c a b
     
     . 
 Tính 2022 2022 2022
a b c
P
b c a
   
      
   
. 
1. Ta có: 
6 2022 42 28 28
3
2 2022 14 2 2022 14
y
E
y y
   
  
   
 Mà 2 2022 14 14,y    với mọi y thuộc R 
 
28 28
2
2 2022 14 14
3 2 1
y
E
 
   
 
    
Suy ra GTNN của E bằng 1 khi 2022 0y   hay 2022y  
Vậy GTNN của E bằng 1 khi 2022y  
2. 
 Nếu 
2022 0 2022
0 2022 0 2022
2022 0 2022
a b c a b c
a b c b c a b c a
c a b c a b
     
 
          
      
 1P  
 Nếu : 0a b c   , Từ GT ta có : 
       2022 2022 2022 2022
2022
a b c b c a c a b a b c
GT
a b c a b c
         
  
   
2022 2022 2022 2023
2022 2022 2022 2022 2023
2022 2022 2022 2023
a b c c a b c
GT b c a a b c a
c a b b c a b
     
 
         
      
 => 32023P  
Bài 4. (7,0 điểm) 
1. Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy 
điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC 
lần lượt ở M và N, gọi I là giao điểm của BC và MN. Chứng minh rằng: 
 a. DM = EN. 
 b. I là trung điểm của MN. 
 c. Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay 
đổi trên cạnh BC. 
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, 15 .C Trên tia BA lấy điểm O sao cho 2BO AC . 
 Chứng minh rằng tam giác OBC cân. 
1. 
a.Ta có ∆MDB = ∆NEC (g.c.g) 
 DM = EN (cặp cạnh tương ứng) 
b. Ta có: 
∆MDI vuông tại D: 0DMI MID 90  (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông) 
∆NEI vuông tại E: 0ENI NIE 90  (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông) 
 Mà MID NIE (đối đỉnh) nên DMI = ENI 
∆MDI = ∆NEI (g.c.g) 
 IM = IN (cặp cạnh tương ứng) 
Vậy I là trung điểm của MN 
c. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC. 
∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền- cạnh góc vuông) 
 HAB HAC (cặp góc tương ứng) 
Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I. 
∆OAB = ∆OAC (c.g.c) 
 OBA OCA (cặp góc tương ứng) (1) 
 OC = OB (cặp cạnh tương ứng) 
∆OIM = ∆OIN (c.g.c) 
 OM = ON (cặp cạnh tương ứng) 
∆OBM = ∆OCN (c.c.c) 
 OBM OCN (cặp góc tương ứng) (2) 
Từ (1) và (2) suy ra OCA OCN =90
0, do đó OC  AC. 
Vậy điểm O cố định. 
2. 
Ta có: ; 90 ; 15 75 .ABC A C Bgt 
Vẽ tam giác đều BCM. 
(M và A cũng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC) 
Ta có: 75 60 15OBM ABC MBC 
Gọi H là trung điểm của OB 
1
2
HO HB OB 
Mặt khác 2BO AC (gt) nên 
1
2
AC OB từ đó ta có AC BH 
Xét HMB và ABC có: BH AC (cmt) 15 ;HBM ACB 
MB BC (cạnh đều BMC) 
Do đó HMB ABC (c.g.c) 
90H A MH OB 
Xét MBH và MOH có 90 , MHB MHO BH HO , MH chung 
 15MBH MOH OBM BOM OBM BOM . 
180 2.15 150BMO suy ra 
0150OMC  
 Ta có MB = MC, 150CMO BMO , OM là cạnh chung 
Do đó .MOB MOC c g c OB OC 
Vậy OBCcân tại O. 
Bài 5. (1,0 điểm) 
Cho a; b; c; d > 0. 
Chứng minh rằng: 1 2
a b c d
a b c b c d c d a d a b
    
        
Ta có 
1
a
a b c

  nên 
 1
a d a
a b c d a b c


    
(do d > 0) 
 Mặt khác:  2
a a
a b c a b c d

    
 Từ (1) và (2) ta có:  3
a a a d
a b c d a b c a b c d

 
       
 Tương tự ta có: 
  4
b b b a
a b c d b c d a b c d

 
       
  5
c c c b
a b c d c d a c d a b

 
       
  6
d+a+b+c
d d d c
d a b a b c d

 
    
 Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được: 
 1 2
a b c d
a b c b c d c d a d a b
    
       